1. Simplificación inicial:
Restamos la primera ecuación de la segunda para simplificar términos cuadráticos:
$$ (xy + x^2 + y^2) - (x + y + x^2 + y^2) = 19 - 18 $$
$$ xy - (x + y) = 1 \quad \text{(Ecuación 3)} $$

2. Cambio de variables:
Sea $S = x + y$ y $P = xy$. De la Ecuación 3 tenemos:
$$ P - S = 1 \implies P = S + 1 $$
Sustituimos en la primera ecuación original, recordando que $x^2 + y^2 = S^2 - 2P$:
$$ S + (S^2 - 2P) = 18 $$
Sustituimos $P = S + 1$:
$$ S + S^2 - 2(S + 1) = 18 $$
$$ S^2 - S - 2 = 18 \implies S^2 - S - 20 = 0 $$
Factorizamos:
$$ (S - 5)(S + 4) = 0 $$

3. Cálculo de las soluciones:

Caso 1 ($S = 5$):
Si $S = 5 \implies P = 5 + 1 = 6$.
Buscamos números cuya suma es 5 y producto es 6:
$$ t^2 - 5t + 6 = 0 \implies (t - 2)(t - 3) = 0 $$
Soluciones: $(2, 3)$ y $(3, 2)$.

Caso 2 ($S = -4$):
Si $S = -4 \implies P = -4 + 1 = -3$.
Buscamos números cuya suma es $-4$ y producto es $-3$:
$$ t^2 + 4t - 3 = 0 $$
Usamos la fórmula cuadrática:
$$ t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -2 \pm \sqrt{7} $$
Soluciones: $(-2 + \sqrt{7}, -2 - \sqrt{7})$ y $(-2 - \sqrt{7}, -2 + \sqrt{7})$.

Resultado final:
$$ \boxed{(x, y) \in \{(2, 3), (3, 2), (-2+\sqrt{7}, -2-\sqrt{7}), (-2-\sqrt{7}, -2+\sqrt{7})\}} $$