1. Factorización de las ecuaciones:
Utilizamos las identidades de diferencia y suma de cubos:

• $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$


• $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

Sustituyendo en el sistema original:
$$ \begin{cases} (x - y)(x^2 + xy + y^2) = 19(x - y) & (1) \\ (x + y)(x^2 - xy + y^2) = 7(x + y) & (2) \end{cases} $$

2. Análisis de casos:
De la ecuación (1), tenemos dos posibilidades: $x - y = 0$ o $x^2 + xy + y^2 = 19$.
De la ecuación (2), tenemos dos posibilidades: $x + y = 0$ o $x^2 - xy + y^2 = 7$.

Caso A: $x = y$ y $x = -y$
Esto implica $x = 0$ y $y = 0$. Verificando en las ecuaciones originales, $(0, 0)$ es una solución.

Caso B: $x = y$ en la ecuación (2) con $x^2 - xy + y^2 = 7$:
$$ x^2 - x^2 + x^2 = 7 \implies x^2 = 7 \implies x = \pm\sqrt{7} $$
Como $x = y$, obtenemos las soluciones: $(\sqrt{7}, \sqrt{7})$ y $(-\sqrt{7}, -\sqrt{7})$.

Caso C: $x = -y$ en la ecuación (1) con $x^2 + xy + y^2 = 19$:
$$ x^2 - x^2 + x^2 = 19 \implies x^2 = 19 \implies x = \pm\sqrt{19} $$
Como $y = -x$, obtenemos: $(\sqrt{19}, -\sqrt{19})$ y $(-\sqrt{19}, \sqrt{19})$.

Caso D: Las expresiones cuadráticas son iguales a las constantes:
$$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 19 \\ x^2 - xy + y^2 = 7 \end{cases} $$
Sumando ambas ecuaciones:
$$ 2(x^2 + y^2) = 26 \implies x^2 + y^2 = 13 $$
Restando la segunda de la primera:
$$ 2xy = 12 \implies xy = 6 $$
Ahora resolvemos el sistema auxiliar $x^2 + y^2 = 13$ y $xy = 6$.
Notamos que $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 13 + 12 = 25 \implies x+y = \pm 5$.
Y $(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 13 - 12 = 1 \implies x-y = \pm 1$.

Resolviendo los sistemas lineales resultantes, obtenemos los pares: $(3, 2), (2, 3), (-3, -2), (-2, -3)$.

Resultado Final:
$$ \boxed{ \begin{array}{l} (0,0), (\sqrt{7}, \sqrt{7}), (-\sqrt{7}, -\sqrt{7}), (\sqrt{19}, -\sqrt{19}), (-\sqrt{19}, \sqrt{19}), \\ (3, 2), (2, 3), (-3, -2), (-2, -3) \end{array} $$