1. Simplificación del paréntesis
Primero reescribimos los términos para tener denominadores claros:
$$ \frac{(1-a)^{1/4}}{2(1+a)^{3/4}} + \frac{(1+a)^{1/4}}{2(1-a)^{3/4}} $$

Buscamos un denominador común, que es $2(1+a)^{3/4}(1-a)^{3/4}$:
$$ \frac{(1-a)^{1/4} (1-a)^{3/4} + (1+a)^{1/4} (1+a)^{3/4}}{2(1+a)^{3/4}(1-a)^{3/4}} $$
Aplicando la propiedad $x^n \cdot x^m = x^{n+m}$:
$$ \frac{(1-a)^{1} + (1+a)^{1}}{2(1-a^2)^{3/4}} = \frac{1-a+1+a}{2(1-a^2)^{3/4}} = \frac{2}{2(1-a^2)^{3/4}} = \frac{1}{(1-a^2)^{3/4}} $$

2. Simplificación del factor externo
Analizamos el resto de la expresión:
$$ (1-a)^{-1/2} \cdot \left( \frac{1+a}{1-a} \right)^{-1/4} = (1-a)^{-1/2} \cdot (1+a)^{-1/4} \cdot (1-a)^{1/4} $$
Sumamos exponentes de base $(1-a)$:
$$ (1-a)^{-1/2 + 1/4} \cdot (1+a)^{-1/4} = (1-a)^{-1/4} \cdot (1+a)^{-1/4} = (1-a^2)^{-1/4} $$

3. Multiplicación final
Combinamos ambos resultados:
$$ \frac{1}{(1-a^2)^{3/4}} \cdot \frac{1}{(1-a^2)^{1/4}} = \frac{1}{(1-a^2)^{3/4 + 1/4}} = \frac{1}{(1-a^2)^1} $$

Esquema de simplificación:
$$ \begin{array}{l} \underbrace{\left[ \frac{(1-a)^{1/4}}{2(1+a)^{3/4}} + \frac{(1+a)^{1/4}}{2(1-a)^{3/4}} \right]}_{\text{Suma de fracciones}} \cdot \underbrace{(1-a)^{-1/2} \left( \frac{1+a}{1-a} \right)^{-1/4}}_{\text{Factores externos}} \\ \downarrow \\ \left[ \frac{1}{(1-a^2)^{3/4}} \right] \cdot \left[ \frac{1}{(1-a^2)^{1/4}} \right] = \frac{1}{1-a^2} \end{array} $$

$$ \boxed{\frac{1}{1 - a^2}} $$