Ii
MATU • Algebra
MATU_PROG_039
2do Ex. II-2010
Enunciado
Paso 1:
En una sucesión de 4 términos, los tres primeros términos están en progresión aritmética y los tres últimos están en progresión geométrica. La suma de los términos primero y cuarto es 24 y la suma de los términos segundo y tercero es 18. Hallar la sucesión de números.
En una sucesión de 4 términos, los tres primeros términos están en progresión aritmética y los tres últimos están en progresión geométrica. La suma de los términos primero y cuarto es 24 y la suma de los términos segundo y tercero es 18. Hallar la sucesión de números.
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos $c$ en la ecuación de la P.A.:
$a = 2b - c = 2b - (18 - b) = 3b - 18$
Ahora usamos $a + d = 24$:
$d = 24 - a = 24 - (3b - 18) = 42 - 3b$
Sustituimos $c, b, d$ en la condición de P.G. ($c^2 = bd$):
$(18 - b)^2 = b(42 - 3b)$
$324 - 36b + b^2 = 42b - 3b^2$
$4b^2 - 78b + 324 = 0 \implies 2b^2 - 39b + 162 = 0$
Resolviendo por fórmula general:
$b = \frac{39 \pm \sqrt{1521 - 1296}}{4} = \frac{39 \pm 15}{4}$
$b_1 = 13.5 = \frac{27}{2}$ y $b_2 = 6$
Para $b = 6$: $c = 12, a = 0, d = 24$. Sucesión: $0, 6, 12, 24$.
Para $b = 13.5$: $c = 4.5 = \frac{9}{2}, a = \frac{45}{2}, d = \frac{3}{2}$. Sucesión: $\frac{45}{2}, \frac{27}{2}, \frac{9}{2}, \frac{3}{2}$.
Resultado final:
1ra sol: $\frac{45}{2}, \frac{27}{2}, \frac{9}{2}, \frac{3}{2}$; 2da sol: $0, 6, 12, 24$.
- Términos: $a, b, c, d$
- $a, b, c$ en P.A. $\implies 2b = a + c$
- $b, c, d$ en P.G. $\implies c^2 = bd$
- $a + d = 24$
- $b + c = 18 \implies c = 18 - b$
2. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos $c$ en la ecuación de la P.A.:
$a = 2b - c = 2b - (18 - b) = 3b - 18$
Ahora usamos $a + d = 24$:
$d = 24 - a = 24 - (3b - 18) = 42 - 3b$
Sustituimos $c, b, d$ en la condición de P.G. ($c^2 = bd$):
$(18 - b)^2 = b(42 - 3b)$
$324 - 36b + b^2 = 42b - 3b^2$
$4b^2 - 78b + 324 = 0 \implies 2b^2 - 39b + 162 = 0$
Resolviendo por fórmula general:
$b = \frac{39 \pm \sqrt{1521 - 1296}}{4} = \frac{39 \pm 15}{4}$
$b_1 = 13.5 = \frac{27}{2}$ y $b_2 = 6$
Para $b = 6$: $c = 12, a = 0, d = 24$. Sucesión: $0, 6, 12, 24$.
Para $b = 13.5$: $c = 4.5 = \frac{9}{2}, a = \frac{45}{2}, d = \frac{3}{2}$. Sucesión: $\frac{45}{2}, \frac{27}{2}, \frac{9}{2}, \frac{3}{2}$.
Resultado final:
1ra sol: $\frac{45}{2}, \frac{27}{2}, \frac{9}{2}, \frac{3}{2}$; 2da sol: $0, 6, 12, 24$.