1. Simplificación del primer radical:
Observamos el término $5 + 2\sqrt{6}$. Notamos que es un trinomio cuadrado perfecto de la forma $(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2$:
$$ 5 + 2\sqrt{6} = 3 + 2 + 2\sqrt{3 \cdot 2} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 $$
Sustituimos en el radical:
$$ \sqrt[4]{6a (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = (6a)^{\frac{1}{4}} \cdot [(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2]^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{6a} \cdot \sqrt{\sqrt{3} + \sqrt{2}} $$

2. Simplificación del segundo radical:
Factorizamos $\sqrt{6a}$ dentro del radical:
$$ \sqrt{3\sqrt{2a} - 2\sqrt{3a}} = \sqrt{\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{2a} - \sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{3a}} = \sqrt{\sqrt{3}\sqrt{6a} - \sqrt{2}\sqrt{6a}} $$
Extraemos $\sqrt{\sqrt{6a}}$:
$$ \sqrt{\sqrt{6a}(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt[4]{6a} \cdot \sqrt{\sqrt{3} - \sqrt{2}} $$

3. Producto de los términos:
Multiplicamos ambos resultados:
$$ (\sqrt[4]{6a} \cdot \sqrt{\sqrt{3} + \sqrt{2}}) \cdot (\sqrt[4]{6a} \cdot \sqrt{\sqrt{3} - \sqrt{2}}) $$
$$ = (\sqrt[4]{6a})^2 \cdot \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} $$
Aplicamos diferencia de cuadrados bajo la raíz:
$$ = \sqrt{6a} \cdot \sqrt{3 - 2} = \sqrt{6a} \cdot \sqrt{1} = \sqrt{6a} $$
La identidad queda demostrada: $\sqrt{6a} = \sqrt{6a}$.

4. Dominio de definición:
Para que las raíces cuadradas y cuartas de $a$ existan en los reales:
$6a \geq 0 \Rightarrow a \geq 0$.
Además, en el segundo radical, $3\sqrt{2a} \geq 2\sqrt{3a} \Rightarrow 18a \geq 12a$, lo cual se cumple para todo $a \geq 0$.

$$ \boxed{\text{Dominio: } a \in [0, \infty)} $$