1. Planteamiento de la ecuación
Sea $x = \sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}}$. Elevamos ambos miembros al cubo usando la identidad $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$:
$$ x^3 = \left( 6+\sqrt{\frac{847}{27}} \right) + \left( 6-\sqrt{\frac{847}{27}} \right) + 3 \left( \sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}} \cdot \sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}} \right) (x) $$

2. Simplificación del producto de las raíces
Sea $P$ el producto dentro de la raíz cúbica:
$$ P = \left( 6+\sqrt{\frac{847}{27}} \right) \left( 6-\sqrt{\frac{847}{27}} \right) = 36 - \frac{847}{27} $$
Efectuando la resta:
$$ P = \frac{36 \cdot 27 - 847}{27} = \frac{972 - 847}{27} = \frac{125}{27} $$
Por lo tanto, la raíz cúbica del producto es:
$$ \sqrt[3]{P} = \sqrt[3]{\frac{125}{27}} = \frac{5}{3} $$

3. Formación de la ecuación polinómica
Sustituyendo los valores en la ecuación original:
$$ x^3 = 12 + 3 \left( \frac{5}{3} \right) x \implies x^3 = 12 + 5x \implies x^3 - 5x - 12 = 0 $$

4. Resolución por Ruffini/Evaluación
Probamos con $x=3$:
$$ 3^3 - 5(3) - 12 = 27 - 15 - 12 = 0 $$
Como $x=3$ satisface la ecuación, la igualdad queda verificada.
$$ \boxed{3=3} $$