1. Método de comprobación:
Para verificar la igualdad $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, podemos elevar ambos miembros al cubo para eliminar las raíces cúbicas o verificar si el producto cruzado es igual: $a \cdot d = b \cdot c$.
Elevaremos ambos miembros al cubo:
$$ \left( \frac{2\sqrt[3]{2}}{1+\sqrt{3}} \right)^3 = \frac{8 \cdot 2}{(1+\sqrt{3})^3} = \frac{16}{1 + 3\sqrt{3} + 9 + 3\sqrt{3}} = \frac{16}{10 + 6\sqrt{3}} $$
Simplificando entre 2:
$$ \text{LHS} = \frac{8}{5 + 3\sqrt{3}} $$

2. Análisis del lado derecho (RHS):
Elevamos al cubo el lado derecho:
$$ \left( \frac{\sqrt[3]{20+12\sqrt{3}}}{2+\sqrt{3}} \right)^3 = \frac{20+12\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})^3} $$
Desarrollamos el denominador $(2+\sqrt{3})^3 = 26+15\sqrt{3}$ (visto en el ejercicio anterior):
$$ \text{RHS} = \frac{20+12\sqrt{3}}{26+15\sqrt{3}} = \frac{4(5+3\sqrt{3})}{26+15\sqrt{3}} $$

3. Racionalización de ambos resultados:
Para comparar, racionalicemos el LHS:
$$ \frac{8}{5+3\sqrt{3}} \cdot \frac{3\sqrt{3}-5}{3\sqrt{3}-5} = \frac{8(3\sqrt{3}-5)}{27-25} = \frac{8(3\sqrt{3}-5)}{2} = 12\sqrt{3}-20 $$
Racionalicemos el RHS:
$$ \frac{20+12\sqrt{3}}{26+15\sqrt{3}} \cdot \frac{26-15\sqrt{3}}{26-15\sqrt{3}} = \frac{520 - 300\sqrt{3} + 312\sqrt{3} - 180(3)}{26^2 - 15^2(3)} = \frac{520 - 540 + 12\sqrt{3}}{676 - 675} = 12\sqrt{3}-20 $$

4. Conclusión:
Como ambos lados simplificados dan $12\sqrt{3}-20$ al elevar al cubo, la igualdad original se cumple.

$$ \boxed{\text{La igualdad es VERDADERA}} $$