1. Datos:
Ambas potencias son impares. Podemos elegir sustituir ya sea el seno o el coseno. Elegiremos $u = \cos x$.

2. Desarrollo:
$$ \int \sin^2 x \cos^3 x \sin x \, dx = \int (1 - \cos^2 x) \cos^3 x \sin x \, dx $$
Sea $u = \cos x, du = -\sin x \, dx$:
$$ -\int (1 - u^2) u^3 \, du = -\int (u^3 - u^5) \, du = \int (u^5 - u^3) \, du $$
Integrando:
$$ \frac{u^6}{6} - \frac{u^4}{4} + C $$
$$ \boxed{\frac{\cos^6 x}{6} - \frac{\cos^4 x}{4} + C} $$