Para resolver este problema, debemos considerar los segmentos de la progresión y la relación de saltos (razón $r$) entre ellos.

1. Definición de variables:
Sea $n_1$ el número de términos entre 3 y 23.
Sea $n_2$ el número de términos entre 23 y 59.
Según el enunciado: $n_2 = 2n_1$.

2. Representación visual de los saltos:
Para ir de un número $A$ a un número $B$ en una P.A. con $k$ términos intermedios, se necesitan $k+1$ saltos de la razón $r$.
$$ \begin{array}{c} \text{Segmento 1: de 3 a 23} \\ 3, \underbrace{\dots}_{n_1 \text{ términos}}, 23 \implies 23 = 3 + (n_1 + 1)r \\ \text{Segmento 2: de 23 a 59} \\ 23, \underbrace{\dots}_{n_2 \text{ términos}}, 59 \implies 59 = 23 + (n_2 + 1)r \end{array} $$

3. Sistema de ecuaciones:
De la primera relación:
$$ 20 = (n_1 + 1)r \implies n_1 + 1 = \frac{20}{r} \implies n_1 = \frac{20}{r} - 1 \quad \text{--- (Ec. 1)} $$
De la segunda relación, usando $n_2 = 2n_1$:
$$ 36 = (2n_1 + 1)r \quad \text{--- (Ec. 2)} $$

4. Resolución:
Sustituimos la (Ec. 1) en la (Ec. 2):
$$ \begin{aligned} 36 &= \left[ 2 \left( \frac{20}{r} - 1 \right) + 1 \right] r \\ 36 &= \left[ \frac{40}{r} - 2 + 1 \right] r \\ 36 &= \left[ \frac{40}{r} - 1 \right] r \\ 36 &= \left( \frac{40 - r}{r} \right) r \end{aligned} $$
Simplificando $r$:
$$ 36 = 40 - r $$
$$ r = 40 - 36 $$

5. Resultado:
$$ \boxed{r = 4} $$