Para resolver este problema, utilizaremos las propiedades fundamentales de los logaritmos, especialmente la relación entre la base y el argumento.

1. Identificación de datos y relaciones:
Sabemos que:
$$ \log_{ab} a = n $$
También conocemos la propiedad de la base, donde el logaritmo del argumento igual a la base es la unidad:
$$ \log_{ab} (ab) = 1 $$
Usando la propiedad del logaritmo de un producto ($\log_x (yz) = \log_x y + \log_x z$):
$$ \log_{ab} a + \log_{ab} b = 1 $$
Sustituimos el valor conocido ($n$):
$$ n + \log_{ab} b = 1 \implies \log_{ab} b = 1 - n $$

2. Transformación de la expresión objetivo:
Sea $E = \log_{ab} \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}$. Aplicamos la propiedad del logaritmo de un cociente:
$$ E = \log_{ab} \sqrt[3]{a} - \log_{ab} \sqrt{b} $$
Expresamos las raíces como potencias fraccionarias:
$$ E = \log_{ab} a^{1/3} - \log_{ab} b^{1/2} $$
Aplicamos la propiedad de la potencia ($\log_x y^k = k \log_x y$):
$$ E = \frac{1}{3} \log_{ab} a - \frac{1}{2} \log_{ab} b $$

3. Sustitución y cálculo final:
Sustituimos los valores obtenidos en el paso 1:
$$ E = \frac{1}{3}(n) - \frac{1}{2}(1 - n) $$
Expandimos los términos:
$$ E = \frac{n}{3} - \frac{1}{2} + \frac{n}{2} $$
Hallamos el común denominador ($6$):
$$ E = \frac{2n - 3 + 3n}{6} $$
Simplificando el numerador:
$$ E = \frac{5n - 3}{6} $$

Resultado:
$$ \boxed{ \log_{ab} \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}} = \frac{5n - 3}{6} } $$