1. Identificación de datos y propiedades:
Sea la ecuación cúbica $x^3 + 0x^2 + px + q = 0$. Por las relaciones de Vieta, la suma de las raíces $x_1, x_2, x_3$ es:
$$ x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} = -\frac{0}{1} = 0 $$

2. Aplicación de la Progresión Aritmética (P.A.):
Si las raíces están en P.A., podemos definirlas como:
$$ \begin{array}{l} x_1 = a - d \\ x_2 = a \\ x_3 = a + d \end{array} $$
Sustituyendo en la suma de raíces:
$$ (a - d) + a + (a + d) = 0 \implies 3a = 0 \implies a = 0 $$
Por lo tanto, una de las raíces es $x_2 = 0$.

3. Determinación de los parámetros $p$ y $q$:
Si $x = 0$ es raíz, debe satisfacer la ecuación original:
$$ 0^3 + p(0) + q = 0 \implies q = 0 $$
La ecuación se reduce a:
$$ x^3 + px = 0 $$

4. Cálculo de las raíces restantes:
Factorizamos la ecuación:
$$ x(x^2 + p) = 0 $$
Las soluciones son:
$$ \begin{array}{l} x_1 = 0 \\ x^2 = -p \implies x = \pm \sqrt{-p} \end{array} $$
Como $p \neq 0$, para que las raíces formen una progresión aritmética real (o compleja), las raíces ordenadas son:
$$ \boxed{-\sqrt{-p}, 0, \sqrt{-p}} $$

Representación gráfica de las raíces:
$$ \begin{array}{c} \hline \begin{array}{ccccc} -\sqrt{-p} & \quad & 0 & \quad & \sqrt{-p} \\ \bullet & \xleftarrow{\quad d \quad} & \bullet & \xrightarrow{\quad d \quad} & \bullet \end{array} \end{array} $$
Donde la diferencia común es $d = \sqrt{-p}$.