1. Definición de la progresión geométrica (P.G.):
El primer término es $a_1 = 1$. Sea $r$ la razón de la progresión ($0 < |r| < 1$ por ser decreciente). Los términos de la P.G. son:
$$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \implies a_n = r^{n-1} $$
Los términos específicos solicitados son:

• 2do término ($n=2$): $t_2 = r^{2-1} = r$


• 4to término ($n=4$): $t_4 = r^{4-1} = r^3$


• 5to término ($n=5$): $t_5 = r^{5-1} = r^4$

2. Condición de Progresión Armónica (P.A.H.):
Por definición, si $t_2, t_4, t_5$ están en P.A.H., sus recíprocos están en progresión aritmética (P.A.):
$$ \frac{1}{r}, \frac{1}{r^3}, \frac{1}{r^4} \quad \in \text{ P.A.} $$
La propiedad del término medio en una P.A. indica que:
$$ \frac{2}{r^3} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r^4} $$

3. Resolución de la ecuación:
$$ r^4 \left( \frac{2}{r^3} \right) = r^4 \left( \frac{1}{r} + \frac{1}{r^4} \right) $$
$$ 2r = r^3 + 1 $$
Reordenando términos obtenemos una ecuación de tercer grado:
$$ r^3 - 2r + 1 = 0 $$

4. Factorización por el método de Ruffini:
Probamos con la raíz evidente $r = 1$:
$$ (1)^3 - 2(1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 $$
Dividiendo el polinomio por $(r-1)$:
$$ (r-1)(r^2 + r - 1) = 0 $$

Analizamos las soluciones:
1. $r = 1$: Se descarta porque la progresión debe ser decreciente (los términos serían constantes).
2. $r^2 + r - 1 = 0$: Aplicamos la fórmula cuadrática:
$$ r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} $$

Evaluamos los valores:

• $r_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.618$ (Válido, ya que $|r| < 1$).


• $r_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1.618$ (Se descarta, ya que $|r| > 1$ y no generaría una sucesión decreciente en valor absoluto).

Esquema de la relación entre términos:
$$ \begin{array}{ccc} \text{P.G.} & \xrightarrow{\text{Recíprocos}} & \text{P.A.} \\ \hline r & \rightarrow & 1/r \\ r^3 & \rightarrow & 1/r^3 \\ r^4 & \rightarrow & 1/r^4 \\ \hline \end{array} $$

Como la razón debe cumplir con la condición de ser una sucesión decreciente:
$$ \boxed{r = \frac{\sqrt{5}-1}{2}} $$