1. Datos del problema:
Se presenta una suma donde el término general es $a_k = \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$.

2. Fórmulas y propiedades:
Utilizaremos el método de fracciones parciales para descomponer el término general y crear una serie telescópica.

3. Desarrollo paso a paso:

Analizamos el término general:
$$ \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1} $$
Resolviendo para $A$ y $B$, obtenemos $A = 1/2$ y $B = -1/2$. Entonces:
$$ a_k = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) $$

Escribimos la suma completa usando esta descomposición:
$$ S_n = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right] $$

Observamos que los términos intermedios se cancelan (serie telescópica):
$$ S_n = \frac{1}{2} \left[ 1 - \frac{1}{2n+1} \right] $$

Simplificamos la expresión algebraica:
$$ S_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{2n+1-1}{2n+1} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{2n}{2n+1} \right] $$
$$ S_n = \frac{n}{2n+1} $$

Resultado:
$$ \boxed{ S_n = \frac{n}{2n+1} } $$