1. Datos del problema:

• Tres números en Progresión Geométrica (P.G.): $a, ar, ar^2$


• Condición 1: $a, (ar + 2), ar^2$ están en Progresión Aritmética (P.A.).


• Condición 2: $a, (ar + 2), (ar^2 + 9)$ están en P.G.

2. Fórmulas/Propiedades:

• Propiedad P.A. (término central): $2b = a + c$


• Propiedad P.G. (término central): $b^2 = a \cdot c$

3. Desarrollo paso a paso:

• Paso 1: Aplicar propiedad de P.A. a la primera condición.

$$2(ar + 2) = a + ar^2 \implies 2ar + 4 = a + ar^2 \quad \text{---(Eq. 1)}$$

• Paso 2: Aplicar propiedad de P.G. a la segunda condición.

$$(ar + 2)^2 = a(ar^2 + 9)$$
$$a^2r^2 + 4ar + 4 = a^2r^2 + 9a$$
Eliminando $a^2r^2$ de ambos lados:
$$4ar + 4 = 9a \implies 4ar = 9a - 4 \implies r = \frac{9a - 4}{4a} \quad \text{---(Eq. 2)}$$

• Paso 3: Sustituir (Eq. 2) en (Eq. 1).

$$2a\left(\frac{9a - 4}{4a}\right) + 4 = a + a\left(\frac{9a - 4}{4a}\right)^2$$
$$\frac{9a - 4}{2} + 4 = a + \frac{(9a - 4)^2}{16a}$$
Multiplicando todo por $16a$:
$$8a(9a - 4) + 64a = 16a^2 + (81a^2 - 72a + 16)$$
$$72a^2 - 32a + 64a = 16a^2 + 81a^2 - 72a + 16$$
$$72a^2 + 32a = 97a^2 - 72a + 16$$
$$25a^2 - 104a + 16 = 0$$

• Paso 4: Resolver la ecuación cuadrática para $a$.

Factorizando o usando la fórmula general:
$$(25a - 4)(a - 4) = 0$$

• Paso 5: Calcular el tercer número ($ar^2$) para $a = 4$.

Si $a = 4$, hallamos $r$ con la Eq. 2:
$$r = \frac{9(4) - 4}{4(4)} = \frac{32}{16} = 2$$
El tercer número de la P.G. inicial es:
$$ar^2 = 4(2)^2 = 4(4) = 16$$

• Paso 6: Verificar con las opciones.

El valor 16 corresponde a la opción d). (Si probamos con $a = 4/25$, el resultado no figura en las opciones).

4. Resultado final:
El tercer número de la progresión inicial es 16.
Respuesta: d)