Para resolver este problema, identificamos que la primera parte de la expresión tiene la forma de la segunda identidad de Legendre: $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$.

1. Identificar 'a' y 'b':
En nuestra expresión, tenemos:

• $ a = \sqrt{\sqrt{5}+2} $
• $ b = \sqrt{\sqrt{5}-2} $

2. Aplicar la segunda identidad de Legendre:
Sustituimos 'a' y 'b' en la fórmula $4ab$:
$$ (\sqrt{\sqrt{5}+2} + \sqrt{\sqrt{5}-2})^2 - (\sqrt{\sqrt{5}+2} - \sqrt{\sqrt{5}-2})^2 = 4(\sqrt{\sqrt{5}+2})(\sqrt{\sqrt{5}-2}) $$
Ahora, reemplazamos esto en la expresión original de J:
$$ J = 4(\sqrt{\sqrt{5}+2})(\sqrt{\sqrt{5}-2}) - 4 $$

3. Simplificar el producto de raíces:
Usamos la propiedad $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$ para combinar las raíces:
$$ J = 4\sqrt{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} - 4 $$
El término dentro de la raíz es una diferencia de cuadrados $(c+d)(c-d) = c^2 - d^2$, donde $c=\sqrt{5}$ y $d=2$:
$$ (\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1 $$

4. Calcular el valor final de J:
Sustituimos el resultado en la expresión de J:
$$ J = 4\sqrt{1} - 4 $$
$$ J = 4(1) - 4 $$
$$ J = 4 - 4 = 0 $$

Resultado final:
El valor de la expresión es:
$$ J = 0 $$