1. Sustitución por cambio de variable
Sea $x = \log_a b$. Por lo tanto, $\log_b a = \frac{1}{x}$.

2. Análisis del numerador
El numerador es una diferencia de cubos:
$$ 1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2) $$

3. Análisis del denominador
Desglosemos el denominador en sus dos factores principales:

• Primer factor:

$$ \log_a b + \log_b a + 1 = x + \frac{1}{x} + 1 = \frac{x^2 + 1 + x}{x} $$

• Segundo factor: Utilizando propiedades de logaritmo de un cociente:

$$ \log_a \frac{a}{b} = \log_a a - \log_a b = 1 - x $$

4. Reconstrucción de la fracción
Sustituimos el numerador y el denominador desarrollados:
$$ F = \frac{(1 - x)(1 + x + x^2)}{\left( \frac{x^2 + x + 1}{x} \right) \cdot (1 - x)} $$

5. Simplificación final
Podemos observar que los términos $(1-x)$ y $(1+x+x^2)$ aparecen tanto en el numerador como en el denominador:
$$ F = \frac{(1 - x)(1 + x + x^2)}{\frac{(1 - x)(x^2 + x + 1)}{x}} $$

Al simplificar la fracción de fracciones (multiplicando por el recíproco del denominador):
$$ F = \frac{(1 - x)(1 + x + x^2) \cdot x}{(1 - x)(1 + x + x^2)} $$
$$ F = x $$

Regresando a nuestra definición inicial $x = \log_a b$:
$$ \boxed{\log_a b} $$