1. Datos del problema:
Buscamos sumar una serie donde cada término $a_k$ es un número compuesto por $k$ veces la cifra 7.

2. Fórmulas y propiedades:

• Un número de $k$ nueves se puede escribir como: $99\dots9 = 10^k - 1$.


• Suma de una progresión geométrica: $S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1}$.

3. Desarrollo paso a paso:

Primero, factorizamos el 7 de la expresión original:
$$ S = 7(1 + 11 + 111 + \dots + \underbrace{111 \dots 1}_{n}) $$

Para facilitar el cálculo, multiplicamos y dividimos por 9, transformando los "unos" en "nueves":
$$ S = \frac{7}{9} (9 + 99 + 999 + \dots + \underbrace{999 \dots 9}_{n}) $$

Expresamos cada término como una potencia de 10 menos 1:
$$ S = \frac{7}{9} \left[ (10^1 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + \dots + (10^n - 1) \right] $$

Agrupamos las potencias de 10 por un lado y los términos constantes (-1) por otro:
$$ S = \frac{7}{9} \left[ (10^1 + 10^2 + \dots + 10^n) - (1 + 1 + \dots + 1) \right] $$

La primera parte es una progresión geométrica con $a_1 = 10$, $r = 10$ y $n$ términos. La segunda parte es simplemente $n$:
$$ S = \frac{7}{9} \left[ \frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} - n \right] $$
$$ S = \frac{7}{9} \left[ \frac{10^{n+1} - 10}{9} - n \right] $$

Llevamos a un denominador común dentro del corchete:
$$ S = \frac{7}{9} \left[ \frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{9} \right] $$
$$ S = \frac{7(10^{n+1} - 9n - 10)}{81} $$

Resultado:
$$ \boxed{7+77+\dots+77\dots7 = \frac{7(10^{n+1}-9n-10)}{81}} $$