1. Datos y análisis inicial
Se nos da una condición algebraica y debemos llegar a una expresión logarítmica. Trabajaremos primero con la condición dada para darle una forma que sea fácil de transformar en logaritmos.

Condición dada:
$$ a^2 + 4b^2 = 12ab $$

2. Completando el trinomio cuadrado perfecto
Observamos que el lado izquierdo $a^2 + 4b^2$ se parece al desarrollo de un binomio al cuadrado $(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$. Para completar el cuadrado, sumamos $4ab$ en ambos lados de la ecuación:
$$ a^2 + 4b^2 + 4ab = 12ab + 4ab $$
$$ (a + 2b)^2 = 16ab $$

3. Manipulación algebraica
Ahora, dividimos ambos miembros entre 16 para aislar el término $ab$:
$$ \frac{(a + 2b)^2}{16} = ab $$
Expresamos el lado izquierdo como una potencia única:
$$ \left( \frac{a + 2b}{4} \right)^2 = ab $$

4. Aplicación de logaritmos
Aplicamos logaritmo decimal (base 10) en ambos lados de la igualdad:
$$ \log \left( \frac{a + 2b}{4} \right)^2 = \log(ab) $$

Utilizamos las propiedades de los logaritmos:

• $\log x^n = n \log x$


• $\log(xy) = \log x + \log y$

Aplicando estas propiedades, obtenemos:
$$ 2 \log \left( \frac{a + 2b}{4} \right) = \log a + \log b $$

5. Resultado final
Despejamos el logaritmo del lado izquierdo dividiendo entre 2:
$$ \log \frac{a+2b}{4} = \frac{1}{2}(\log a + \log b) $$

Queda demostrada la igualdad bajo la condición inicial.

$$ \boxed{\log \frac{a+2b}{4} = \frac{1}{2}(\log a + \log b)} $$