Datos del problema
Se tienen las constantes $a, b$ y las variables $x, y$ bajo operaciones de potencia y logaritmo.

Paso 1: Transformación de la ecuación (II)
Aplicamos $\log$ en ambos lados para bajar los exponentes:
$$ \begin{aligned} \log(b^{\log x}) &= \log(a^{\log y}) \\ (\log x)(\log b) &= (\log y)(\log a) \\ \log x &= \frac{\log a}{\log b} \cdot \log y \quad \text{--- (Relación A)} \end{aligned} $$

Paso 2: Transformación de la ecuación (I)
Igualamos términos y aplicamos logaritmo:
$$ \begin{aligned} (ax)^{\log a} &= (by)^{\log b} \\ \log\left((ax)^{\log a}\right) &= \log\left((by)^{\log b}\right) \\ (\log a)(\log a + \log x) &= (\log b)(\log b + \log y) \end{aligned} $$

Paso 3: Sustitución y despeje
Sustituimos la (Relación A) en la ecuación anterior:
$$ (\log a)\left(\log a + \frac{\log a}{\log b} \cdot \log y\right) = (\log b)(\log b + \log y) $$
Multiplicando todo por $\log b$:
$$ (\log a)^2 \log b + (\log a)^2 \log y = (\log b)^3 + (\log b)^2 \log y $$
Agrupamos términos con $\log y$:
$$ \begin{aligned} \log y \left( (\log a)^2 - (\log b)^2 \right) &= (\log b)^3 - (\log a)^2 \log b \\ \log y \left( (\log a)^2 - (\log b)^2 \right) &= -\log b \left( (\log a)^2 - (\log b)^2 \right) \end{aligned} $$
Simplificando, obtenemos $\log y = -\log b$, lo que implica $y = \frac{1}{b}$.

Representación visual del proceso:
$$ \begin{array}{ccc} \text{Ecuación} & \rightarrow & \text{Resultado Parcial} \\ \hline (II) & \rightarrow & \log x / \log a = \log y / \log b \\ (I) & \rightarrow & y = 1/b \\ \hline \text{Sustitución} & \rightarrow & \log x = -\log a \end{array} $$

Paso 4: Hallar $x$
Sustituimos $\log y = -\log b$ en la (Relación A):
$$ \log x = \frac{\log a}{\log b} \cdot (-\log b) = -\log a = \log(a^{-1}) $$
Por lo tanto, $x = a^{-1} = \frac{1}{a}$.

Resultado final
$$ \boxed{x = \frac{1}{a}} $$