Ii
MATU • Algebra
MATU_FRAC_011
Guía de Estudios
Enunciado
Efectuar:
$$\frac{(a + c - b + x)(a + b - c + x)}{(b - a)(c - a)} + \frac{(b + c - a + x)(a + b - c + x)}{(c - b)(a - b)} + \frac{(b + c - a + x)(a + c - b + x)}{(a - c)(b - c)}$$
a) 4 b) $ab + bc + ac$ c) $a + b + c$ d) 0 e) 1
$$\frac{(a + c - b + x)(a + b - c + x)}{(b - a)(c - a)} + \frac{(b + c - a + x)(a + b - c + x)}{(c - b)(a - b)} + \frac{(b + c - a + x)(a + c - b + x)}{(a - c)(b - c)}$$
a) 4 b) $ab + bc + ac$ c) $a + b + c$ d) 0 e) 1
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
Suma de tres fracciones algebraicas con estructura cíclica.
2. Fórmulas/Propiedades:
3. Desarrollo paso a paso:
Analicemos la primera fracción:
$$\frac{[x + (a + c - b)][x + (a + b - c)]}{(b - a)(c - a)}$$
Esta expresión es un polinomio de segundo grado en $x$. Al evaluar en valores específicos o simplificar mediante el cambio de variables $u = b-a, v = c-a$, notamos que la estructura corresponde a la expansión de una identidad donde la suma de los términos resulta en una constante.
Probando con $x=0$:
$$E = \frac{a^2 - (c-b)^2}{-(a-b)(a-c)} + \frac{b^2 - (a-c)^2}{-(b-a)(b-c)} + \frac{c^2 - (b-a)^2}{-(c-a)(c-b)}$$
Evaluando con $a=1, b=2, c=3$:
$$T_1 = \frac{(1+3-2)(1+2-3)}{(2-1)(3-1)} = 0; \quad T_2 = \frac{(2+3-1)(2+1-3)}{(3-2)(1-2)} = 0; \quad T_3 = \frac{(2+3-1)(1+3-2)}{(1-3)(2-3)} = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4$$
La suma total es $0 + 0 + 4 = 4$.
4. Resultado final:
Respuesta: a) 4
Suma de tres fracciones algebraicas con estructura cíclica.
2. Fórmulas/Propiedades:
- Diferencia de cuadrados: $(m+n)(m-n) = m^2 - n^2$.
- Identidad de Lagrange para polinomios de segundo grado.
3. Desarrollo paso a paso:
Analicemos la primera fracción:
$$\frac{[x + (a + c - b)][x + (a + b - c)]}{(b - a)(c - a)}$$
Esta expresión es un polinomio de segundo grado en $x$. Al evaluar en valores específicos o simplificar mediante el cambio de variables $u = b-a, v = c-a$, notamos que la estructura corresponde a la expansión de una identidad donde la suma de los términos resulta en una constante.
Probando con $x=0$:
$$E = \frac{a^2 - (c-b)^2}{-(a-b)(a-c)} + \frac{b^2 - (a-c)^2}{-(b-a)(b-c)} + \frac{c^2 - (b-a)^2}{-(c-a)(c-b)}$$
Evaluando con $a=1, b=2, c=3$:
$$T_1 = \frac{(1+3-2)(1+2-3)}{(2-1)(3-1)} = 0; \quad T_2 = \frac{(2+3-1)(2+1-3)}{(3-2)(1-2)} = 0; \quad T_3 = \frac{(2+3-1)(1+3-2)}{(1-3)(2-3)} = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4$$
La suma total es $0 + 0 + 4 = 4$.
4. Resultado final:
Respuesta: a) 4