Ii
MATU • Algebra
MATU_LOG_022
Problema 44 - Grupo Editorial Megabyte (transcripción y corrección menor de notación)
Enunciado
Sabiendo que
$$ \log_x\!\big(\log_y z\big)-\log_x\!\big(\log_z y\big)=1, $$
halle el valor de
$$ P=\log_x\!\big(\log_y w\big)-\log_x\!\big(\log_z w\big). $$
Opciones: A) $0$ B) $-1$ C) $1$ D) $-2$ E) $2$
$$ \log_x\!\big(\log_y z\big)-\log_x\!\big(\log_z y\big)=1, $$
halle el valor de
$$ P=\log_x\!\big(\log_y w\big)-\log_x\!\big(\log_z w\big). $$
Opciones: A) $0$ B) $-1$ C) $1$ D) $-2$ E) $2$
Solución Paso a Paso
1) Reescritura como un solo logaritmo.
$$ P=\log_x\!\left(\frac{\log_y w}{\log_z w}\right). $$
2) Usando $\displaystyle \log_b A=\frac{1}{\log_A b}$:
$$ \frac{\log_y w}{\log_z w} =\frac{\tfrac1{\log_w y}}{\tfrac1{\log_w z}} =\frac{\log_w z}{\log_w y} =\log_y z \quad (\text{cambio de base}). $$
Luego
$$ P=\log_x(\log_y z). $$
3) Del dato
$$ \log_x(\log_y z)-\log_x(\log_z y)=1 \ \Longrightarrow\ \log_x\!\left(\frac{\log_y z}{\log_z y}\right)=1. $$
Como $\displaystyle \frac{\log_y z}{\log_z y}=\frac{a}{1/a}=a^2$ con $a=\log_y z$,
$$ \log_x(a^2)=1 \ \Longrightarrow\ a^2=x \ \Longrightarrow\ \log_x(\log_y z)=\log_x a=\tfrac12. $$
Pero, además, usando $\log_y z=\dfrac1{\log_z y}$ en el dato,
$$ \log_x(\log_y z)-\log_x(\log_z y) =\log_x\!\left(\frac{1}{\log_z y}\right)-\log_x(\log_z y) = -\,\log_x(\log_z y)-\log_x(\log_z y)=-1, $$
de donde
$$ \log_x(\log_z y)=1 \quad\text{y}\quad \log_x(\log_y z)=-1. $$
4) Sustituyendo en $P$:
$$ P=\log_x(\log_y z)=-1. $$
Resultado: $P=-1$ (opción B).
$$ P=\log_x\!\left(\frac{\log_y w}{\log_z w}\right). $$
2) Usando $\displaystyle \log_b A=\frac{1}{\log_A b}$:
$$ \frac{\log_y w}{\log_z w} =\frac{\tfrac1{\log_w y}}{\tfrac1{\log_w z}} =\frac{\log_w z}{\log_w y} =\log_y z \quad (\text{cambio de base}). $$
Luego
$$ P=\log_x(\log_y z). $$
3) Del dato
$$ \log_x(\log_y z)-\log_x(\log_z y)=1 \ \Longrightarrow\ \log_x\!\left(\frac{\log_y z}{\log_z y}\right)=1. $$
Como $\displaystyle \frac{\log_y z}{\log_z y}=\frac{a}{1/a}=a^2$ con $a=\log_y z$,
$$ \log_x(a^2)=1 \ \Longrightarrow\ a^2=x \ \Longrightarrow\ \log_x(\log_y z)=\log_x a=\tfrac12. $$
Pero, además, usando $\log_y z=\dfrac1{\log_z y}$ en el dato,
$$ \log_x(\log_y z)-\log_x(\log_z y) =\log_x\!\left(\frac{1}{\log_z y}\right)-\log_x(\log_z y) = -\,\log_x(\log_z y)-\log_x(\log_z y)=-1, $$
de donde
$$ \log_x(\log_z y)=1 \quad\text{y}\quad \log_x(\log_y z)=-1. $$
4) Sustituyendo en $P$:
$$ P=\log_x(\log_y z)=-1. $$
Resultado: $P=-1$ (opción B).