1. Identificación del problema:
Se nos pide demostrar que la Media Armónica (MH) es menor o igual a la Media Geométrica (MG).
$$ \text{MH} = \frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}, \quad \text{MG} = \sqrt[3]{abc} $$

2. Uso de la desigualdad MA-MG:
Sea $x = \frac{1}{a}, y = \frac{1}{b}, z = \frac{1}{c}$. Aplicamos la desigualdad de la media aritmética y geométrica a $x, y, z$:
$$ \frac{x + y + z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz} $$

3. Sustitución:
Reemplazamos $x, y, z$ por sus valores originales:
$$ \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{c}} $$
$$ \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3} \ge \frac{1}{\sqrt[3]{abc}} $$

4. Inversión de la desigualdad:
Para números positivos, si $p \ge q$, entonces $\frac{1}{p} \le \frac{1}{q}$. Invertimos ambos miembros de la desigualdad:
$$ \frac{1}{\left( \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3} \right)} \le \frac{1}{\left( \frac{1}{\sqrt[3]{abc}} \right)} $$
Simplificando los extremos:
$$ \frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \le \sqrt[3]{abc} $$

5. Resultado final:
La relación se cumple estrictamente para valores positivos de las variables:
$$ \boxed{\frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \le \sqrt[3]{abc}} $$