1. Identidad de ángulo doble:
$$ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x $$

2. Desarrollo:
Sustituimos el numerador:
$$ \int \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x \cdot \sin^2 x} dx $$
Separamos en dos integrales simplificando términos comunes:
$$ \int \left( \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} \right) dx $$
$$ \int (\csc^2 x - \sec^2 x) dx $$
Aplicamos integrales inmediatas:
$$ \int \csc^2 x dx = -\cot x $$
$$ \int \sec^2 x dx = \tan x $$

3. Resultado:
$$ \boxed{-\cot x - \tan x + C} $$