1. Datos y conceptos previos:
Se nos pide demostrar la relación entre la media aritmética y la media cuadrática para dos números no negativos.

2. Desarrollo paso a paso:
Partimos de la desigualdad que deseamos demostrar:
$$ \frac{a+b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} $$

Como ambos miembros son no negativos (dado que $a, b \ge 0$), podemos elevar al cuadrado ambos lados de la inecuación sin alterar el sentido de la misma:
$$ \left( \frac{a+b}{2} \right)^2 \le \left( \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \right)^2 $$
$$ \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \le \frac{a^2 + b^2}{2} $$

Multiplicamos toda la expresión por $4$ para eliminar los denominadores:
$$ a^2 + 2ab + b^2 \le 2(a^2 + b^2) $$
$$ a^2 + 2ab + b^2 \le 2a^2 + 2b^2 $$

Trasponemos todos los términos al miembro derecho de la desigualdad:
$$ 0 \le 2a^2 - a^2 + 2b^2 - b^2 - 2ab $$
$$ 0 \le a^2 - 2ab + b^2 $$

Observamos que el miembro derecho es un trinomio cuadrado perfecto:
$$ 0 \le (a - b)^2 $$

3. Conclusión:
Dado que cualquier número real elevado al cuadrado es siempre mayor o igual a cero, la expresión $(a - b)^2 \ge 0$ es siempre verdadera. Por lo tanto, la desigualdad original queda demostrada.

$$ \boxed{\frac{a + b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}} $$