1. Análisis de la expresión:
Observamos que el numerador $a^2 + 2$ puede expresarse en términos de la cantidad subradical del denominador. Notemos que:
$$a^2 + 2 = (a^2 + 1) + 1$$

2. Cambio de variable:
Para simplificar la expresión, definimos una variable $u$:
Sea $u = \sqrt{a^2 + 1}$.
Dado que $a^2 \geq 0$ para todo $a \in \mathbb{R}$, entonces $a^2 + 1 \geq 1$. Por lo tanto:
$$u = \sqrt{a^2 + 1} \geq 1$$

3. Sustitución en la desigualdad:
Expresamos el término original en función de $u$:
$$\frac{a^2 + 2}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{u^2 + 1}{u}$$

Al dividir cada término del numerador por $u$:
$$\frac{u^2}{u} + \frac{1}{u} = u + \frac{1}{u}$$

4. Aplicación de la desigualdad AM-GM:
Para cualquier número real positivo $u$, se cumple que:
$$\frac{u + \frac{1}{u}}{2} \geq \sqrt{u \cdot \frac{1}{u}}$$
$$u + \frac{1}{u} \geq 2\sqrt{1}$$
$$u + \frac{1}{u} \geq 2$$

5. Conclusión:
Puesto que $u = \sqrt{a^2 + 1}$ es siempre positivo (específicamente $u \geq 1$), la desigualdad se mantiene.
$$ \boxed{\frac{a^2 + 2}{\sqrt{a^2 + 1}} \geq 2} $$