I
MATU • Algebra
MATU_INEC_042
Solving Problems in Algebra and Trigonometry Litvinenko Mordkovich
Enunciado
Si $a \geqslant 0, b \geqslant 0, c \geqslant 0, d \geqslant 0$, demostrar que:
$$a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \geqslant 4abcd$$
$$a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \geqslant 4abcd$$
Solución Paso a Paso
1. Datos y Propiedad:
Se nos dan cuatro números no negativos. Utilizaremos la desigualdad de la media aritmética y geométrica (MA-MG) para $n = 4$ variables:
$$\frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4} \geqslant \sqrt[4]{x_1 x_2 x_3 x_4}$$
2. Desarrollo:
Definimos nuestras variables como $x_1 = a^4$, $x_2 = b^4$, $x_3 = c^4$ y $x_4 = d^4$. Sustituyendo en la fórmula:
$$\frac{a^4 + b^4 + c^4 + d^4}{4} \geqslant \sqrt[4]{a^4 \cdot b^4 \cdot c^4 \cdot d^4}$$
Simplificamos el radicando en el lado derecho:
$$\sqrt[4]{a^4 b^4 c^4 d^4} = |abcd|$$
Como los términos son no negativos, $|abcd| = abcd$. La expresión queda:
$$\frac{a^4 + b^4 + c^4 + d^4}{4} \geqslant abcd$$
3. Conclusión:
Multiplicamos ambos lados por 4 para obtener la forma deseada:
$$ \boxed{a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \geqslant 4abcd} $$
Se nos dan cuatro números no negativos. Utilizaremos la desigualdad de la media aritmética y geométrica (MA-MG) para $n = 4$ variables:
$$\frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4} \geqslant \sqrt[4]{x_1 x_2 x_3 x_4}$$
2. Desarrollo:
Definimos nuestras variables como $x_1 = a^4$, $x_2 = b^4$, $x_3 = c^4$ y $x_4 = d^4$. Sustituyendo en la fórmula:
$$\frac{a^4 + b^4 + c^4 + d^4}{4} \geqslant \sqrt[4]{a^4 \cdot b^4 \cdot c^4 \cdot d^4}$$
Simplificamos el radicando en el lado derecho:
$$\sqrt[4]{a^4 b^4 c^4 d^4} = |abcd|$$
Como los términos son no negativos, $|abcd| = abcd$. La expresión queda:
$$\frac{a^4 + b^4 + c^4 + d^4}{4} \geqslant abcd$$
3. Conclusión:
Multiplicamos ambos lados por 4 para obtener la forma deseada:
$$ \boxed{a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \geqslant 4abcd} $$