Para demostrar esta desigualdad, seguiremos un razonamiento basado en las propiedades de los números reales y los binomios al cuadrado.

1. Datos y consideraciones iniciales:
Notamos que para cualquier valor real de $a$, el denominador $1 + a^4$ siempre es mayor o igual a 1, por lo tanto, nunca es cero. Esto nos permite manipular la expresión sin restricciones.

2. Desarrollo paso a paso:
Partimos de la desigualdad original:
$$\frac{a^2}{1+a^4} \leq \frac{1}{2}$$

Multiplicamos ambos miembros por $2(1+a^4)$ para eliminar las fracciones (dado que esta expresión es siempre positiva, el sentido de la desigualdad se mantiene):
$$2a^2 \leq 1+a^4$$

Transponemos todos los términos al lado derecho de la desigualdad:
$$0 \leq a^4 - 2a^2 + 1$$

Observamos que la expresión resultante es un trinomio cuadrado perfecto de la forma $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$, donde $x = a^2$ y $y = 1$:
$$0 \leq (a^2 - 1)^2$$

3. Conclusión:
Sabemos que en el conjunto de los números reales, cualquier número elevado al cuadrado es siempre mayor o igual a cero:
$$\forall x \in \mathbb{R} : x^2 \geq 0$$

Por lo tanto, la expresión $(a^2 - 1)^2 \geq 0$ es siempre verdadera para todo $a \in \mathbb{R}$. Al ser esta última expresión equivalente a la original mediante pasos válidos, queda demostrada la desigualdad.

$$ \boxed{\frac{a^2}{1+a^4} \leq \frac{1}{2}} $$