I
MATU • Algebra
MATU_ECU_128
Academia Cesar Vallejo
Enunciado
Si la división algebraica
$$\frac{x^{m^2+n^2+13} - y^{4m+6n}}{x-y}, m, n \in \mathbb{N}$$
genera un CN, calcule el producto $mn$.
A) 8 B) 12 C) 5 D) 4 E) 6
$$\frac{x^{m^2+n^2+13} - y^{4m+6n}}{x-y}, m, n \in \mathbb{N}$$
genera un CN, calcule el producto $mn$.
A) 8 B) 12 C) 5 D) 4 E) 6
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Fórmulas/Propiedades:
3. Desarrollo paso a paso:
$\frac{m^2+n^2+13}{1} = \frac{4m+6n}{1}$
$m^2 + n^2 + 13 = 4m + 6n$
$m^2 - 4m + 4 + n^2 - 6n + 9 = 0$
$(m-2)^2 + (n-3)^2 = 0$
Como son números reales (naturales), la única solución es:
$m-2 = 0 \implies m = 2$
$n-3 = 0 \implies n = 3$
$2 \times 3 = 6$
Resultado final: 6 (Clave E)
- División: $\frac{x^A - y^B}{x^1 - y^1}$ genera un Cociente Notable.
- $m, n \in \mathbb{N}$.
2. Fórmulas/Propiedades:
- Condición necesaria y suficiente para un CN: $\frac{\text{Exp. de } x}{\text{Exp. de } x} = \frac{\text{Exp. de } y}{\text{Exp. de } y} = \text{Número de términos}$.
3. Desarrollo paso a paso:
- Paso 1: Aplicar la condición de CN.
$\frac{m^2+n^2+13}{1} = \frac{4m+6n}{1}$
$m^2 + n^2 + 13 = 4m + 6n$
- Paso 2: Completar cuadrados.
$m^2 - 4m + 4 + n^2 - 6n + 9 = 0$
$(m-2)^2 + (n-3)^2 = 0$
- Paso 3: Resolver para $m$ y $n$.
Como son números reales (naturales), la única solución es:
$m-2 = 0 \implies m = 2$
$n-3 = 0 \implies n = 3$
- Paso 4: Calcular $mn$.
$2 \times 3 = 6$
Resultado final: 6 (Clave E)