1. Estrategia:
Para demostrar que una expresión cuadrática es siempre positiva, intentaremos reescribirla como una suma de cuadrados (que siempre son $\geq 0$) más una constante positiva.

2. Reordenamiento y agrupación:
Agrupamos términos para formar un trinomio cuadrado perfecto con $a$ y $b$:
$$ (a^2 + 2ab + b^2) + b^2 + b + 10 $$
Notamos que $(a^2 + 2ab + b^2) = (a + b)^2$. Entonces:
$$ (a + b)^2 + (b^2 + b + 10) $$

3. Análisis de la parte dependiente de $b$:
Analizamos el trinomio $b^2 + b + 10$. Completamos el cuadrado para $b$:
$$ b^2 + b + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 10 $$
$$ \left(b + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + 10 $$
$$ \left(b + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{39}{4} $$

4. Expresión final:
La expresión original se convierte en:
$$ (a + b)^2 + \left(b + \frac{1}{2}\right)^2 + 9.75 $$

5. Evaluación:

• $(a + b)^2 \geq 0$ para cualquier valor de $a$ y $b$.
• $(b + 0.5)^2 \geq 0$ para cualquier valor de $b$.
• $9.75$ es una constante estrictamente positiva.

La suma de dos valores no negativos y un valor positivo es siempre mayor que cero.
$$ \boxed{a^2 + 2b^2 + 2ab + b + 10 > 0} $$