Ii
MATU • Algebra
MATU_FRAC_017
Guía
Enunciado
Si se cumple que $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$, calcular el valor de:
$$ \frac{x^3 + a^3}{x^2 + a^2} + \frac{y^3 + b^3}{y^2 + b^2} + \frac{z^3 + c^3}{z^2 + c^2} - \frac{(x + y + z)^3 + (a + b + c)^3}{(x + y + z)^2 + (a + b + c)^2} $$
a) 1 b) $x + a$ c) $x + b$ d) $x + c$ e) 0
$$ \frac{x^3 + a^3}{x^2 + a^2} + \frac{y^3 + b^3}{y^2 + b^2} + \frac{z^3 + c^3}{z^2 + c^2} - \frac{(x + y + z)^3 + (a + b + c)^3}{(x + y + z)^2 + (a + b + c)^2} $$
a) 1 b) $x + a$ c) $x + b$ d) $x + c$ e) 0
Solución Paso a Paso
1. Propiedad de la serie de razones:
Sea $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = k \implies x = ak, y = bk, z = ck$.
También se cumple que: $\frac{x + y + z}{a + b + c} = k$.
2. Análisis de un término general:
Sea $T(x, a) = \frac{x^3 + a^3}{x^2 + a^2}$. Sustituyendo $x = ak$:
$$ T(x, a) = \frac{a^3 k^3 + a^3}{a^2 k^2 + a^2} = \frac{a^3(k^3 + 1)}{a^2(k^2 + 1)} = a \left( \frac{k^3 + 1}{k^2 + 1} \right) $$
3. Suma de los tres primeros términos:
$$ S_3 = (a + b + c) \left( \frac{k^3 + 1}{k^2 + 1} \right) $$
4. Análisis del término sustraído:
Sea $X = x + y + z$ y $A = a + b + c$. Sabemos que $X = Ak$.
El término es: $\frac{X^3 + A^3}{X^2 + A^2} = A \left( \frac{k^3 + 1}{k^2 + 1} \right) = (a + b + c) \left( \frac{k^3 + 1}{k^2 + 1} \right)$.
5. Resta final:
Ambas expresiones son idénticas, por lo tanto su diferencia es cero.
$$ \boxed{0} $$
Respuesta: e) 0
Sea $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = k \implies x = ak, y = bk, z = ck$.
También se cumple que: $\frac{x + y + z}{a + b + c} = k$.
2. Análisis de un término general:
Sea $T(x, a) = \frac{x^3 + a^3}{x^2 + a^2}$. Sustituyendo $x = ak$:
$$ T(x, a) = \frac{a^3 k^3 + a^3}{a^2 k^2 + a^2} = \frac{a^3(k^3 + 1)}{a^2(k^2 + 1)} = a \left( \frac{k^3 + 1}{k^2 + 1} \right) $$
3. Suma de los tres primeros términos:
$$ S_3 = (a + b + c) \left( \frac{k^3 + 1}{k^2 + 1} \right) $$
4. Análisis del término sustraído:
Sea $X = x + y + z$ y $A = a + b + c$. Sabemos que $X = Ak$.
El término es: $\frac{X^3 + A^3}{X^2 + A^2} = A \left( \frac{k^3 + 1}{k^2 + 1} \right) = (a + b + c) \left( \frac{k^3 + 1}{k^2 + 1} \right)$.
5. Resta final:
Ambas expresiones son idénticas, por lo tanto su diferencia es cero.
$$ \boxed{0} $$
Respuesta: e) 0