1. Planteamiento de la suma:
Sea $S_n$ la suma de los primeros $n+1$ términos:
$$ S_n = 1 + x + x^2 + \dots + x^n \quad \dots \text{ (Ecuación 1)} $$

2. Multiplicación por la razón:
Multiplicamos toda la ecuación por la razón $x$:
$$ x S_n = x + x^2 + x^3 + \dots + x^{n+1} \quad \dots \text{ (Ecuación 2)} $$

3. Resta de ecuaciones:
Restamos la (Ecuación 2) menos la (Ecuación 1):
$$ x S_n - S_n = (x + x^2 + \dots + x^{n+1}) - (1 + x + x^2 + \dots + x^n) $$
Al realizar la resta, los términos intermedios se eliminan:
$$ S_n(x - 1) = x^{n+1} - 1 $$

4. Despeje final:
Dado que $x \neq 1$, podemos dividir por $(x-1)$:
$$ \boxed{S_n = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}} $$