1. Análisis y estrategia:
Observamos que el argumento del numerador $2x$ puede expresarse como la diferencia de los argumentos del denominador: $2x = 5x - 3x$. Utilizaremos la identidad del seno de una diferencia:
$$ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $$

2. Desarrollo:
Sustituimos $\sin 2x$ por $\sin(5x - 3x)$ en la integral:
$$ I = \int \frac{\sin(5x - 3x)}{\sin 5x \cdot \sin 3x} \, dx $$
Aplicando la identidad:
$$ I = \int \frac{\sin 5x \cos 3x - \cos 5x \sin 3x}{\sin 5x \cdot \sin 3x} \, dx $$
Distribuimos el denominador:
$$ I = \int \left( \frac{\sin 5x \cos 3x}{\sin 5x \sin 3x} - \frac{\cos 5x \sin 3x}{\sin 5x \sin 3x} \right) dx $$
Simplificando los términos comunes:
$$ I = \int (\cot 3x - \cot 5x) \, dx $$

3. Integración:
Recordamos que $\int \cot(ax) \, dx = \frac{1}{a} \ln|\sin(ax)| + C$. Aplicamos esto a cada término:
$$ I = \frac{1}{3} \ln|\sin 3x| - \frac{1}{5} \ln|\sin 5x| + C $$

Resultado final:
$$ \boxed{I = \frac{1}{3} \ln|\sin 3x| - \frac{1}{5} \ln|\sin 5x| + C} $$