Basico
MATU • Algebra
MATU_FACT_124
Solving Problems in Algebra and Trigonometry Litvinenko Mordkovich
Enunciado
Verificar el valor de la suma:
$$ \frac{1}{1 \times 3 \times 5} + \frac{2}{3 \times 5 \times 7} + \dots + \frac{n}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)} = \frac{n(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)} $$
$$ \frac{1}{1 \times 3 \times 5} + \frac{2}{3 \times 5 \times 7} + \dots + \frac{n}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)} = \frac{n(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)} $$
Solución Paso a Paso
1. Planteamiento del término general:
Sea $a_k = \frac{k}{(2k-1)(2k+1)(2k+3)}$. Buscamos una descomposición que permita cancelar términos.
2. Método de descomposición:
Intentamos expresar $a_k$ como una diferencia de la forma $f(k) - f(k+1)$. Probamos con:
$$ f(k) = \frac{Ak+B}{(2k-1)(2k+1)} $$
Entonces:
$$ a_k = \frac{Ak+B}{(2k-1)(2k+1)} - \frac{A(k+1)+B}{(2k+1)(2k+3)} $$
Combinando las fracciones:
$$ \text{Numerador} = (Ak+B)(2k+3) - (Ak+A+B)(2k-1) $$
Expandiendo:
$$ (2Ak^2 + 3Ak + 2Bk + 3B) - (2Ak^2 - Ak + 2Ak - A + 2Bk - B) = 2Ak + A + 4B $$
Queremos que $2Ak + A + 4B$ sea igual a $k$ (el numerador original).
Comparando coeficientes:
$$ \begin{cases} 2A = 1 \implies A = 1/2 \\ A + 4B = 0 \implies 1/2 + 4B = 0 \implies B = -1/8 \end{cases} $$
3. Forma del término general:
Por lo tanto, $a_k = f(k) - f(k+1)$ con $f(k) = \frac{4k-1}{8(2k-1)(2k+1)}$.
4. Cálculo de la suma:
La suma es telescópica: $S_n = f(1) - f(n+1)$.
$$ \begin{array}{rcl} f(1) & = & \displaystyle \frac{4(1)-1}{8(2-1)(2+1)} = \frac{3}{8 \cdot 1 \cdot 3} = \frac{1}{8} \\ f(n+1) & = & \displaystyle \frac{4(n+1)-1}{8(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)} = \frac{4n+3}{8(2n+1)(2n+3)} \\ S_n & = & \displaystyle \frac{1}{8} - \frac{4n+3}{8(2n+1)(2n+3)} \end{array} $$
5. Simplificación final:
$$ \begin{array}{rcl} S_n & = & \displaystyle \frac{(2n+1)(2n+3) - (4n+3)}{8(2n+1)(2n+3)} = \frac{4n^2 + 8n + 3 - 4n - 3}{8(2n+1)(2n+3)} \\ S_n & = & \displaystyle \frac{4n^2 + 4n}{8(2n+1)(2n+3)} = \frac{4n(n+1)}{8(2n+1)(2n+3)} \end{array} $$
$$ \boxed{ S_n = \frac{n(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)} } $$
Sea $a_k = \frac{k}{(2k-1)(2k+1)(2k+3)}$. Buscamos una descomposición que permita cancelar términos.
2. Método de descomposición:
Intentamos expresar $a_k$ como una diferencia de la forma $f(k) - f(k+1)$. Probamos con:
$$ f(k) = \frac{Ak+B}{(2k-1)(2k+1)} $$
Entonces:
$$ a_k = \frac{Ak+B}{(2k-1)(2k+1)} - \frac{A(k+1)+B}{(2k+1)(2k+3)} $$
Combinando las fracciones:
$$ \text{Numerador} = (Ak+B)(2k+3) - (Ak+A+B)(2k-1) $$
Expandiendo:
$$ (2Ak^2 + 3Ak + 2Bk + 3B) - (2Ak^2 - Ak + 2Ak - A + 2Bk - B) = 2Ak + A + 4B $$
Queremos que $2Ak + A + 4B$ sea igual a $k$ (el numerador original).
Comparando coeficientes:
$$ \begin{cases} 2A = 1 \implies A = 1/2 \\ A + 4B = 0 \implies 1/2 + 4B = 0 \implies B = -1/8 \end{cases} $$
3. Forma del término general:
Por lo tanto, $a_k = f(k) - f(k+1)$ con $f(k) = \frac{4k-1}{8(2k-1)(2k+1)}$.
4. Cálculo de la suma:
La suma es telescópica: $S_n = f(1) - f(n+1)$.
$$ \begin{array}{rcl} f(1) & = & \displaystyle \frac{4(1)-1}{8(2-1)(2+1)} = \frac{3}{8 \cdot 1 \cdot 3} = \frac{1}{8} \\ f(n+1) & = & \displaystyle \frac{4(n+1)-1}{8(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)} = \frac{4n+3}{8(2n+1)(2n+3)} \\ S_n & = & \displaystyle \frac{1}{8} - \frac{4n+3}{8(2n+1)(2n+3)} \end{array} $$
5. Simplificación final:
$$ \begin{array}{rcl} S_n & = & \displaystyle \frac{(2n+1)(2n+3) - (4n+3)}{8(2n+1)(2n+3)} = \frac{4n^2 + 8n + 3 - 4n - 3}{8(2n+1)(2n+3)} \\ S_n & = & \displaystyle \frac{4n^2 + 4n}{8(2n+1)(2n+3)} = \frac{4n(n+1)}{8(2n+1)(2n+3)} \end{array} $$
$$ \boxed{ S_n = \frac{n(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)} } $$