Basico
MATU • Algebra
MATU_ECU_383
Examen de Admisión
Enunciado
Paso 1:
Un camión salió del punto $A$ hacia el punto $B$. Una hora más tarde fue seguido por un automóvil que también salió de $A$. Ambos vehículos llegaron al punto $B$ simultáneamente. Si hubieran salido simultáneamente de $A$ y $B$ para encontrarse, se habrían encontrado 1 hora y 12 minutos después de la partida. ¿Cuánto tiempo tarda el camión en viajar de $A$ a $B$?
Un camión salió del punto $A$ hacia el punto $B$. Una hora más tarde fue seguido por un automóvil que también salió de $A$. Ambos vehículos llegaron al punto $B$ simultáneamente. Si hubieran salido simultáneamente de $A$ y $B$ para encontrarse, se habrían encontrado 1 hora y 12 minutos después de la partida. ¿Cuánto tiempo tarda el camión en viajar de $A$ a $B$?
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Fórmulas usadas:
3. Desarrollo paso a paso:
De la primera condición (llegada simultánea):
$$ \begin{aligned} \frac{d}{v_1} &= \frac{d}{v_2} + 1 \\ \frac{1}{v_1} - \frac{1}{v_2} &= \frac{1}{d} \quad \dots \text{(Ec. 1)} \end{aligned} $$
De la segunda condición (encuentro):
$$ \begin{aligned} 1.2 &= \frac{d}{v_1 + v_2} \\ \frac{v_1 + v_2}{d} &= \frac{1}{1.2} = \frac{5}{6} \\ \frac{v_1}{d} + \frac{v_2}{d} &= \frac{5}{6} \end{aligned} $$
Sustituyendo $t_1 = \frac{d}{v_1}$ y $t_2 = \frac{d}{v_2}$, tenemos $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{5}{6}$.
De la Ec. 1 sabemos que $t_1 - t_2 = 1 \Rightarrow t_2 = t_1 - 1$. Sustituimos:
$$ \begin{aligned} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_1 - 1} &= \frac{5}{6} \\ \frac{(t_1 - 1) + t_1}{t_1(t_1 - 1)} &= \frac{5}{6} \\ 6(2t_1 - 1) &= 5(t_1^2 - t_1) \\ 12t_1 - 6 &= 5t_1^2 - 5t_1 \\ 5t_1^2 - 17t_1 + 6 &= 0 \end{aligned} $$
Resolviendo la ecuación cuadrática mediante la fórmula general:
$$ t_1 = \frac{17 \pm \sqrt{17^2 - 4(5)(6)}}{2(5)} = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 120}}{10} = \frac{17 \pm 13}{10} $$
Las soluciones son $t_1 = 3$ y $t_1 = 0.4$. Dado que el camión tarda más de una hora (porque el auto sale una hora después), la solución válida es $t_1 = 3$.
4. Resultado:
$$ \boxed{t_1 = 3 \text{ horas}} $$
- Sea $d$ la distancia entre $A$ y $B$.
- $v_1$: velocidad del camión; $v_2$: velocidad del automóvil.
- $t_1$: tiempo que tarda el camión; $t_2$: tiempo que tarda el automóvil.
- Relación de tiempos en persecución: $t_1 = t_2 + 1$ (en horas).
- Tiempo de encuentro en sentido opuesto: $t_e = 1 \text{ h } 12 \text{ min} = 1.2 \text{ horas}$.
2. Fórmulas usadas:
- $v = \frac{d}{t}$
- Tiempo de encuentro: $t_e = \frac{d}{v_1 + v_2}$
3. Desarrollo paso a paso:
De la primera condición (llegada simultánea):
$$ \begin{aligned} \frac{d}{v_1} &= \frac{d}{v_2} + 1 \\ \frac{1}{v_1} - \frac{1}{v_2} &= \frac{1}{d} \quad \dots \text{(Ec. 1)} \end{aligned} $$
De la segunda condición (encuentro):
$$ \begin{aligned} 1.2 &= \frac{d}{v_1 + v_2} \\ \frac{v_1 + v_2}{d} &= \frac{1}{1.2} = \frac{5}{6} \\ \frac{v_1}{d} + \frac{v_2}{d} &= \frac{5}{6} \end{aligned} $$
Sustituyendo $t_1 = \frac{d}{v_1}$ y $t_2 = \frac{d}{v_2}$, tenemos $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{5}{6}$.
De la Ec. 1 sabemos que $t_1 - t_2 = 1 \Rightarrow t_2 = t_1 - 1$. Sustituimos:
$$ \begin{aligned} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_1 - 1} &= \frac{5}{6} \\ \frac{(t_1 - 1) + t_1}{t_1(t_1 - 1)} &= \frac{5}{6} \\ 6(2t_1 - 1) &= 5(t_1^2 - t_1) \\ 12t_1 - 6 &= 5t_1^2 - 5t_1 \\ 5t_1^2 - 17t_1 + 6 &= 0 \end{aligned} $$
Resolviendo la ecuación cuadrática mediante la fórmula general:
$$ t_1 = \frac{17 \pm \sqrt{17^2 - 4(5)(6)}}{2(5)} = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 120}}{10} = \frac{17 \pm 13}{10} $$
Las soluciones son $t_1 = 3$ y $t_1 = 0.4$. Dado que el camión tarda más de una hora (porque el auto sale una hora después), la solución válida es $t_1 = 3$.
4. Resultado:
$$ \boxed{t_1 = 3 \text{ horas}} $$