Ii
MATU • Algebra
MATU_FACT_060
Examen de admisión
Enunciado
Halle uno de los factores primos del siguiente polinomio.
$$T_{(x;y)} = x^2y + xy^2 + (a + b)xy + ab(x + y) + ay^2 + bx^2$$
A) $x + y + a$ B) $x + y$ C) $xy + 1$ D) $x + b$ E) $y + a$
$$T_{(x;y)} = x^2y + xy^2 + (a + b)xy + ab(x + y) + ay^2 + bx^2$$
A) $x + y + a$ B) $x + y$ C) $xy + 1$ D) $x + b$ E) $y + a$
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Desarrollo paso a paso:
$$T = (x^2y + axy + bx^2 + abx) + (xy^2 + bxy + ay^2 + aby)$$
$$T = x(xy + ay + bx + ab) + y(xy + bx + ay + ab)$$
$$T = (x + y)(xy + ay + bx + ab)$$
$$xy + ay + bx + ab = y(x + a) + b(x + a) = (y + b)(x + a)$$
$$T_{(x;y)} = (x + y)(x + a)(y + b)$$
3. Resultado final:
Comparando con las opciones, el factor presente es $x + y$.
- Polinomio: $T_{(x;y)} = x^2y + xy^2 + axy + bxy + abx + aby + ay^2 + bx^2$
2. Desarrollo paso a paso:
- Agrupamos términos que contengan factores comunes. Intentaremos agrupar términos con $a$ por un lado y con $b$ por otro, junto con los términos puramente en $x$ e $y$:
$$T = (x^2y + axy + bx^2 + abx) + (xy^2 + bxy + ay^2 + aby)$$
- Factorizamos por término común en cada paréntesis:
$$T = x(xy + ay + bx + ab) + y(xy + bx + ay + ab)$$
- Observamos que el paréntesis $(xy + ay + bx + ab)$ es común:
$$T = (x + y)(xy + ay + bx + ab)$$
- Ahora factorizamos el segundo paréntesis por agrupación:
$$xy + ay + bx + ab = y(x + a) + b(x + a) = (y + b)(x + a)$$
- La expresión factorizada completa es:
$$T_{(x;y)} = (x + y)(x + a)(y + b)$$
- Los factores primos son: $(x + y)$, $(x + a)$ y $(y + b)$.
3. Resultado final:
Comparando con las opciones, el factor presente es $x + y$.