1. Resolución de la primera ecuación:
$$ x^3 + x = 0 $$
Factorizamos por término común:
$$ x(x^2 + 1) = 0 $$
Para que el producto sea cero, uno de los factores debe serlo:

• $x = 0$


• $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$ (No tiene soluciones reales)

Conjunto solución: $S_1 = \{0\}$.

2. Resolución de la segunda ecuación:
$$ \frac{x^3 + x}{x} = 0 $$
Restricción del dominio: El denominador no puede ser cero, por lo tanto $x \neq 0$.
Bajo esta condición, simplificamos la expresión:
$$ \frac{x(x^2 + 1)}{x} = 0 \implies x^2 + 1 = 0 $$
Como vimos, $x^2 + 1 = 0$ no tiene soluciones reales. Además, el valor que resolvía la primera ecuación ($x=0$) está excluido por el dominio de la segunda.
Conjunto solución: $S_2 = \emptyset$.

3. Representación de la diferencia:
$$ \begin{array}{rcl} \text{Ecuación 1:} & \rightarrow & \text{Solución } x = 0 \\ \text{Ecuación 2:} & \rightarrow & \text{Indefinida en } x = 0 \end{array} $$

Conclusión:
Como $S_1 \neq S_2$, las ecuaciones no son equivalentes.
$$ \boxed{\text{Las ecuaciones NO son equivalentes}} $$