I
MATU • Algebra
MATU_ECU_109
Academia Cesar Vallejo
Enunciado
Si $P_{(x)}$ es un polinomio mónico de segundo grado que verifica $P_{(x)} - P_{(x-1)} = 2x + 2$, halle el coeficiente de su término lineal.
A) $-4$ B) $2$ C) $3$ D) $1$ E) $-2$
A) $-4$ B) $2$ C) $3$ D) $1$ E) $-2$
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Desarrollo paso a paso:
$$P_{(x-1)} = (x-1)^2 + b(x-1) + c$$
$$P_{(x-1)} = x^2 - 2x + 1 + bx - b + c$$
$$P_{(x)} - P_{(x-1)} = (x^2 + bx + c) - (x^2 - 2x + 1 + bx - b + c)$$
$$P_{(x)} - P_{(x-1)} = x^2 + bx + c - x^2 + 2x - 1 - bx + b - c$$
$$P_{(x)} - P_{(x-1)} = 2x + b - 1$$
$$2x + b - 1 = 2x + 2$$
$$b - 1 = 2 \implies b = 3$$
3. Resultado final:
El coeficiente del término lineal es $b = 3$.
Respuesta: C)
- $P_{(x)}$ es mónico (coeficiente principal es 1).
- Segundo grado: $P_{(x)} = x^2 + bx + c$.
- Condición: $P_{(x)} - P_{(x-1)} = 2x + 2$.
2. Desarrollo paso a paso:
- Calculamos $P_{(x-1)}$:
$$P_{(x-1)} = (x-1)^2 + b(x-1) + c$$
$$P_{(x-1)} = x^2 - 2x + 1 + bx - b + c$$
- Aplicamos la resta dada en el enunciado:
$$P_{(x)} - P_{(x-1)} = (x^2 + bx + c) - (x^2 - 2x + 1 + bx - b + c)$$
$$P_{(x)} - P_{(x-1)} = x^2 + bx + c - x^2 + 2x - 1 - bx + b - c$$
$$P_{(x)} - P_{(x-1)} = 2x + b - 1$$
- Igualamos con el dato $2x + 2$:
$$2x + b - 1 = 2x + 2$$
$$b - 1 = 2 \implies b = 3$$
3. Resultado final:
El coeficiente del término lineal es $b = 3$.
Respuesta: C)