Utilizaremos el método de reducción al absurdo.

1. Suposición contraria:
Supongamos que $A > M$. Entonces, la diferencia $A - M$ es una cantidad positiva.

2. Elección de $\epsilon$:
Sea $\epsilon = \frac{A - M}{2} > 0$.
Por la definición de límite, existe un $\delta > 0$ tal que si $0 < |x - a| < \delta$, entonces:
$$ |f(x) - A| < \epsilon $$
Esto es equivalente a:
$$ A - \epsilon < f(x) < A + \epsilon $$

3. Análisis de la cota inferior:
Enfoquémonos en la parte izquierda de la desigualdad: $A - \epsilon < f(x)$. Sustituyendo nuestro $\epsilon$ elegido:
$$ \begin{aligned} f(x) &> A - \frac{A - M}{2} \\ f(x) &> \frac{2A - A + M}{2} \\ f(x) &> \frac{A + M}{2} \end{aligned} $$

4. Contradicción:
Como supusimos que $A > M$, entonces el promedio $\frac{A + M}{2}$ es estrictamente mayor que $M$:
$$ \frac{A + M}{2} > \frac{M + M}{2} = M $$
Por lo tanto, hemos encontrado que para $x$ cerca de $a$:
$$ f(x) > M $$
Lo cual contradice la hipótesis inicial de que $f(x) \leq M$ para todo $x$.

5. Conclusión:
Dado que la suposición $A > M$ conduce a una contradicción, debemos concluir que:
$$ \boxed{A \leq M} $$