Aprende con Inteligencia

Calcular el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{\sqrt[3]{x^3+5} + 4x^2 + 6 - 2x}{x - \sqrt[3]{x^3 - 12x^2 + 1}} \right)$$

Calcular el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to \infty} \left[ x \cdot \text{arctg}\left( \frac{x+w}{w^2+x^2+w^3x+2wx+w^2x^2} \right) \cdot \text{tg}^x \left( \text{arctg}(e^0) + \frac{w}{2x} \right) \right]$$

(8) (a) Demuestre que si $|s_n| \to 0$, entonces $s_n \to 0$.
(b) Sea $s \neq 0$. ¿Es verdad que si $|s_n| \to |s|$, entonces $s_n \to s$?

Hallar el valor de $A$ y $B$ para que la función sea continua en todo el conjunto de los números reales:
$$f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x+2} & ; \quad x < -2 \\ Ax+B & ; \quad -2 \le x < 2 \\ 1 + \dfrac{2}{\sqrt{x+2}} & ; \quad x > 2 \end{cases}$$

Paso 1:
Empleando límites estudie la continuidad de la función: $f(x) = \text{sgn}\left(\frac{x^2-1}{x^2+2}\right)$ en el punto de acumulación: $x=1$.

Obtener los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua en su dominio:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{2 - \sqrt{\cos x} - \sec x}{\sqrt{\cos x} - \sqrt[3]{\cos x}} & ; \quad x < 0 \\ ax^3 + b & ; \quad 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{8(x^{34} - 1)}{x^{32} - x^{30} + x^{28} - \dots + x^4 - x^2} & ; \quad x > 1 \end{cases}$$

Halle el valor de $A$ para que la función $f(x)$ sea continua en los reales:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}{\text{arctg}(1+x) - \text{arctg}(1-x)} & ; x \neq 0 \\ A & ; x = 0 \end{cases}$$

Paso 1:
6. (OPTATIVA) Calcule el límite: $L = \lim_{x \to e} \frac{e^x - x^x}{x^2 - e^2}$

Calcular el valor del límite:
$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(2h+2+h^2) - f(2)}{f(h-h^2+1) - f(1)} $$
si se sabe que $f'(2) = 6$ y $f'(1) = 4$.
$$ \begin{array}{ll} \text{(a) no existe} & \text{(b) es igual a } -3/2 \\ \text{(c) es igual a } 3/2 & \text{(d) es igual a } 3 \end{array} $$

Demuestre los siguientes límites utilizando la definición formal de límite de una sucesión ($\epsilon-N$):

1. [(i)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$
2. [(ii)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$
3. [(iii)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 - 10^7} = 0$
4. [(iv)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2}{n^2 - \pi} = 3$
5. [(v)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k - b} = 0$, donde $k$ es un entero positivo y $b$ es un número distinto de cero.

Calcular el siguiente límite:
$$L = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{2\cdot\sqrt{x+9} + 9 \cdot \sqrt[3]{27-x} - 33}{x\left( \sqrt[8]{1+7x} \cdot \sqrt[12]{1+5x} - 1 \right)} \right]$$

Para la función:
$$f(x) = \frac{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x})(1-\sqrt[4]{x})(1-\sqrt[5]{x})\dots(1-\sqrt[n]{x})}{(1-x)^{n-1}}$$
En el punto $x_0=1$, hallar el valor de $f(x)$ para que tenga una discontinuidad evitable en $x_0=1$. $(n \in \mathbb{N}, n > 1)$.