1. Análisis inicial:
Sustituyendo $x = 1$: $\frac{1 - 1}{\sqrt{1^2 + 3} - 2} = \frac{0}{2 - 2} = \frac{0}{0}$.

2. Estrategia:
Racionalizar el denominador multiplicando por su conjugado: $\sqrt{x^2 + 3} + 2$.

3. Desarrollo paso a paso:
$$ \begin{aligned} \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 + 3} - 2} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 3} + 2}{\sqrt{x^2 + 3} + 2} &= \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{(x^2 + 3) - 4} \\ &= \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{x^2 - 1} \end{aligned} $$
Factorizamos $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$:
$$ \begin{aligned} \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{(x - 1)(x + 1)} &= \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 + 3} + 2}{x + 1} \end{aligned} $$
Evaluamos el límite:
$$ L = \frac{\sqrt{1^2 + 3} + 2}{1 + 1} = \frac{2 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$

4. Resultado:
$$ \boxed{2} $$