1. Datos del problema:

• Punto fijo: $P_0(4, 2)$
• Curva: $y^2 = 8x \implies x = \frac{y^2}{8}$
• Punto genérico en la parábola: $P\left(\frac{y^2}{8}, y\right)$

2. Fórmulas usadas:

• Distancia entre dos puntos: $d = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$
• Para optimizar, es más sencillo trabajar con el cuadrado de la distancia: $f(y) = d^2 = (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos $x = \frac{y^2}{8}$ y las coordenadas del punto $(4, 2)$ en la función de distancia al cuadrado:
$$ f(y) = \left( \frac{y^2}{8} - 4 \right)^2 + (y - 2)^2 $$
Derivamos la función con respecto a $y$ para encontrar los puntos críticos:
$$ f'(y) = 2\left( \frac{y^2}{8} - 4 \right)\left( \frac{2y}{8} \right) + 2(y - 2) $$
Simplificando la expresión:
$$ \begin{aligned} f'(y) &= \frac{y}{2} \left( \frac{y^2}{8} - 4 \right) + 2y - 4 \\ f'(y) &= \frac{y^3}{16} - 2y + 2y - 4 \\ f'(y) &= \frac{y^3}{16} - 4 \end{aligned} $$
Igualamos a cero para hallar el valor de $y$ que minimiza la distancia:
$$ \frac{y^3}{16} - 4 = 0 \implies y^3 = 64 \implies y = 4 $$
Si $y = 4$, entonces $x = \frac{4^2}{8} = 2$. El punto en la parábola más cercano es $(2, 4)$.
Calculamos la distancia mínima $d$:
$$ d = \sqrt{(2 - 4)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} $$

4. Resultado:
$$ \boxed{d = 2\sqrt{2} \text{ unidades}} $$