1. Datos del problema:

• Función: $f(x) = \prod_{k=1}^{n} (x - k)$
• Condición: $f'(n) = 5040$
• Objetivo: Hallar $n$.

2. Propiedades utilizadas:
Para derivar un producto de $n$ funciones $g_1(x)g_2(x)\dots g_n(x)$, la derivada es:
$$ f'(x) = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{f(x)}{x - i} \right) $$
En este caso, para el producto dado:
$$ f'(x) = (x-2)(x-3)\dots(x-n) + (x-1)(x-3)\dots(x-n) + \dots + (x-1)(x-2)\dots(x-(n-1)) $$

3. Desarrollo paso a paso:
Evaluamos la derivada en $x = n$. Notamos que en la sumatoria de productos, todos los términos excepto el último contienen el factor $(x - n)$. Al evaluar en $x = n$, estos términos se anulan:
$$ f'(n) = (n - 1)(n - 2)(n - 3) \cdots (n - (n - 1)) $$
Simplificando la expresión:
$$ f'(n) = (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot (n - 3) \cdots 1 = (n - 1)! $$
Igualamos con el dato proporcionado:
$$ (n - 1)! = 5040 $$
Buscamos el número cuyo factorial sea 5040:
$$ \begin{array}{l} 1! = 1 \\ 2! = 2 \\ 3! = 6 \\ 4! = 24 \\ 5! = 120 \\ 6! = 720 \\ 7! = 5040 \end{array} $$
Por lo tanto:
$$ n - 1 = 7 \implies n = 8 $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{n = 8} $$