1. Datos y análisis previo:
Se nos pide hallar el límite de una raíz enésima de una integral de la forma $\int [f(x)]^n dx$. Por teoría de límites y normas, sabemos que:
$$ \lim_{n \to \infty} \left( \int_{a}^{b} [f(x)]^n dx \right)^{1/n} = \max_{x \in [a, b]} |f(x)| $$
siempre que $f(x)$ sea continua y no negativa en el intervalo.

2. Análisis de la función interna:
Sea $f(x) = 1 + 6x - 7x^2 + 4x^3 - x^4$ en el intervalo $x \in [0, 2]$. Buscamos su valor máximo.
Calculamos la derivada $f'(x)$:
$$ f'(x) = 6 - 14x + 12x^2 - 4x^3 $$
Igualamos a cero para encontrar puntos críticos:
$$ -4x^3 + 12x^2 - 14x + 6 = 0 $$
Dividiendo por $-2$:
$$ 2x^3 - 6x^2 + 7x - 3 = 0 $$
Probando raíces racionales (posibles divisores de 3 entre divisores de 2), evaluamos $x=1$:
$$ 2(1)^3 - 6(1)^2 + 7(1) - 3 = 2 - 6 + 7 - 3 = 0 $$
Por tanto, $x=1$ es un punto crítico. Factorizando por Ruffini obtenemos:
$$ (x-1)(2x^2 - 4x + 3) = 0 $$
El discriminante de la cuadrática $2x^2 - 4x + 3$ es $D = (-4)^2 - 4(2)(3) = 16 - 24 = -8 < 0$, por lo que no hay más raíces reales.

3. Evaluación del máximo:
Evaluamos la función en el punto crítico y en los extremos del intervalo $[0, 2]$:

• $f(0) = 1 + 0 - 0 + 0 - 0 = 1$


• $f(1) = 1 + 6 - 7 + 4 - 1 = 3$


• $f(2) = 1 + 6(2) - 7(4) + 4(8) - 16 = 1 + 12 - 28 + 32 - 16 = 1$

El valor máximo de $f(x)$ en el intervalo es $3$.

4. Conclusión:
Aplicando la propiedad de la norma $L^p$ cuando $p \to \infty$:
$$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\int_{0}^{2} [f(x)]^n dx} = f(1) = 3 $$

$$ \boxed{3} $$