1. Identificación de funciones y derivadas:
Observamos que las funciones involucradas son de la forma $f(x) = (x/e)^x$ y su recíproca. Analicemos la derivada de $u = \left( \frac{x}{e} \right)^x$ utilizando derivación logarítmica:
$$ \begin{aligned} \ln(u) &= x \ln\left(\frac{x}{e}\right) \\ \ln(u) &= x (\ln(x) - \ln(e)) \\ \ln(u) &= x (\ln(x) - 1) \end{aligned} $$
Derivando respecto a $x$:
$$ \begin{aligned} \frac{1}{u} \frac{du}{dx} &= 1 \cdot (\ln(x) - 1) + x \cdot \left( \frac{1}{x} \right) \\ \frac{1}{u} \frac{du}{dx} &= \ln(x) - 1 + 1 \\ \frac{du}{dx} &= u \cdot \ln(x) \\ \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{e} \right)^x &= \left( \frac{x}{e} \right)^x \ln(x) \end{aligned} $$

2. Análisis del segundo término:
Para la función $v = \left( \frac{e}{x} \right)^x = \left[ \left( \frac{x}{e} \right)^x \right]^{-1} = u^{-1}$, su derivada es:
$$ \begin{aligned} \frac{dv}{dx} &= -u^{-2} \frac{du}{dx} \\ \frac{dv}{dx} &= -\left( \frac{x}{e} \right)^{-2x} \cdot \left( \frac{x}{e} \right)^x \ln(x) \\ \frac{dv}{dx} &= -\left( \frac{x}{e} \right)^{-x} \ln(x) \\ \frac{dv}{dx} &= -\left( \frac{e}{x} \right)^x \ln(x) \end{aligned} $$

3. Integración por sustitución directa:
La integral original se puede separar en dos partes:
$$ I = \int \ln(x) \left( \frac{x}{e} \right)^x dx + \int \ln(x) \left( \frac{e}{x} \right)^x dx $$
Usando los resultados de las derivadas obtenidas:

• Para la primera parte: $\int \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{e} \right)^x dx = \left( \frac{x}{e} \right)^x$
• Para la segunda parte: $\int - \frac{d}{dx} \left( \frac{e}{x} \right)^x dx = -\left( \frac{e}{x} \right)^x$

4. Resultado final:
Sumando ambas primitivas obtenemos el resultado:
$$ \boxed{\left( \frac{x}{e} \right)^x - \left( \frac{e}{x} \right)^x + C} $$
Se verifica que la igualdad propuesta en el enunciado es correcta (omitiendo la constante de integración $C$).