1. Simplificación algebraica:
Observamos que $\cos^4 x - 1 = (\cos^2 x - 1)(\cos^2 x + 1) = (-\sin^2 x)(\cos^2 x + 1)$.
Sustituyendo en la integral:
$$ \int \frac{-\sin^2 x (\cos^2 x + 1)}{\sin^8 x} \, dx = -\int \frac{\cos^2 x + 1}{\sin^6 x} \, dx $$
Separamos la fracción:
$$ -\int \left( \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \cdot \frac{1}{\sin^4 x} + \frac{1}{\sin^6 x} \right) dx = -\int (\cot^2 x \csc^4 x + \csc^6 x) \, dx $$

2. Cambio de variable:
Sea $u = \cot x \implies du = -\csc^2 x \, dx$. Usamos $\csc^2 x = 1 + u^2$.
$\csc^4 x = (1+u^2)^2$ y $\csc^6 x = (1+u^2)^3$.
La integral se convierte en:
$$ \int (u^2(1+u^2) + (1+u^2)^2) \, du = \int (u^2 + u^4 + 1 + 2u^2 + u^4) \, du = \int (2u^4 + 3u^2 + 1) \, du $$
*Nota: Re-evaluando los términos para coincidir con la forma del resultado:*
Tras integrar y factorizar en términos de $\cot x$ y $\csc x$, el resultado se simplifica a:
$$ \boxed{\frac{1}{5} \cot(x) (2 \csc^4(x) + \csc^2(x) + 2) + C} $$