1. Datos del problema:
Se debe integrar la función $f(x) = \lfloor x \lfloor x \rfloor \rfloor$ en el intervalo $[0, 10]$. La función parte entera $\lfloor u \rfloor$ devuelve el mayor entero menor o igual a $u$.

2. Análisis de la función por tramos:
Dado que la función $\lfloor x \rfloor$ cambia de valor en cada entero, debemos dividir la integral en la suma de integrales sobre intervalos unitarios $[k, k+1)$ para $k \in \{0, 1, \dots, 9\}$.

En el intervalo $k \leq x < k+1$, sabemos que $\lfloor x \rfloor = k$. Por lo tanto, la función se simplifica a:
$$ f(x) = \lfloor x \cdot k \rfloor = \lfloor kx \rfloor $$

3. Desarrollo paso a paso:
La integral total es:
$$ I = \sum_{k=0}^{9} \int_{k}^{k+1} \lfloor kx \rfloor \, dx $$
Analicemos los primeros términos:

• Para $k=0$: $\int_{0}^{1} \lfloor 0 \cdot x \rfloor \, dx = 0$.
• Para $k=1$: $\int_{1}^{2} \lfloor x \rfloor \, dx$. En este intervalo $\lfloor x \rfloor = 1$, entonces $\int_{1}^{2} 1 \, dx = 1$.
• Para $k > 1$: Usamos la propiedad $\int_{a}^{b} \lfloor kx \rfloor \, dx$. Aplicando el cambio de variable $u = kx$, $du = k dx$:
  $$ \int_{k}^{k+1} \lfloor kx \rfloor \, dx = \frac{1}{k} \int_{k^2}^{k^2+k} \lfloor u \rfloor \, du $$
  Como el intervalo $[k^2, k^2+k]$ contiene exactamente $k$ segmentos de longitud 1, la integral de la parte entera es la suma de los valores constantes en cada segmento:
  $$ \frac{1}{k} \sum_{i=k^2}^{k^2+k-1} i = \frac{1}{k} \left[ \frac{(k^2+k-1 + k^2) \cdot k}{2} \right] = \frac{2k^2 + k - 1}{2} = k^2 + \frac{k-1}{2} $$

4. Sumatoria final:
Sumamos desde $k=1$ hasta $k=9$ (ya que $k=0$ es 0):
$$ I = \sum_{k=1}^{9} \left( k^2 + \frac{k-1}{2} \right) = \sum_{k=1}^{9} k^2 + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{9} (k-1) $$
Calculando las sumas notables:

• $\sum_{k=1}^{9} k^2 = \frac{9(10)(19)}{6} = 285$
• $\sum_{k=1}^{9} (k-1) = 0 + 1 + 2 + \dots + 8 = \frac{8(9)}{2} = 36$

Sustituyendo:
$$ I = 285 + \frac{1}{2}(36) = 285 + 18 = 303 $$

Resultado:
$$ \boxed{303} $$