1. Homogeneización de la ecuación:
Para resolver la ecuación, debemos expresarla en términos de una sola razón trigonométrica. Usamos la identidad $\operatorname{sen}^2 x = 1 - \cos^2 x$:
$$ 2\cos^3 x + 9(1 - \cos^2 x) + 10\cos x - 12 = 0 $$
Expandimos y agrupamos términos:
$$ 2\cos^3 x + 9 - 9\cos^2 x + 10\cos x - 12 = 0 $$
$$ 2\cos^3 x - 9\cos^2 x + 10\cos x - 3 = 0 $$

2. Cambio de variable y factorización:
Sea $u = \cos x$. La ecuación se convierte en un polinomio de tercer grado:
$$ 2u^3 - 9u^2 + 10u - 3 = 0 $$
Probamos raíces racionales (divisores de 3 entre divisores de 2). Si $u = 1$:
$$ 2(1)^3 - 9(1)^2 + 10(1) - 3 = 2 - 9 + 10 - 3 = 0 $$
Como $u=1$ es raíz, $(u-1)$ es un factor. Dividiendo el polinomio:
$$ (u-1)(2u^2 - 7u + 3) = 0 $$
Ahora factorizamos la ecuación cuadrática $2u^2 - 7u + 3$:
$$ 2u^2 - 7u + 3 = (2u - 1)(u - 3) = 0 $$
Por lo tanto, los factores son:
$$ (u-1)(2u-1)(u-3) = 0 $$

3. Análisis de las raíces:

• $u = 1 \implies \cos x = 1$. En el intervalo principal $[0^{\circ}, 360^{\circ}]$, esto ocurre en $x = 0^{\circ}$ y $x = 360^{\circ}$.
• $u = 1/2 \implies \cos x = 1/2$. Esto ocurre en el primer y cuarto cuadrante: $x = 60^{\circ}$ y $x = 360^{\circ} - 60^{\circ} = 300^{\circ}$.
• $u = 3 \implies \cos x = 3$. No existe solución real ya que el rango del coseno es $[-1, 1]$.

Resultado:
Las soluciones principales son:
$$ \boxed{x = 0^{\circ}; 60^{\circ}; 300^{\circ}; 360^{\circ}} $$