1. Datos y análisis de la función:
El integrando es $f(x) = \lfloor \log_{43}(x) \rfloor$, donde el símbolo $\lfloor \cdot \rfloor$ representa la función piso o parte entera. Esta función devuelve el mayor entero menor o igual al argumento.

2. Identificación de los intervalos de salto:
La función $\lfloor \log_{43}(x) \rfloor$ cambia de valor entero en las potencias de la base $43$. Analizamos los puntos críticos dentro del intervalo de integración $[1, 2024]$:

• Si $43^0 \leq x < 43^1$, es decir, $1 \leq x < 43$, entonces $\lfloor \log_{43}(x) \rfloor = 0$.
• Si $43^1 \leq x < 43^2$, es decir, $43 \leq x < 1849$, entonces $\lfloor \log_{43}(x) \rfloor = 1$.
• Si $43^2 \leq x < 43^3$, es decir, $1849 \leq x < 79507$, entonces $\lfloor \log_{43}(x) \rfloor = 2$. Dado que nuestro límite superior es $2024$, el intervalo relevante es $1849 \leq x \leq 2024$.

3. Descomposición de la integral:
Dividimos la integral en los intervalos identificados:
$$ I = \int_{1}^{43} 0 \, dx + \int_{43}^{1849} 1 \, dx + \int_{1849}^{2024} 2 \, dx $$

4. Cálculo de cada término:

• Primer intervalo: $\int_{1}^{43} 0 \, dx = 0$
• Segundo intervalo: $\int_{43}^{1849} 1 \, dx = (1849 - 43) = 1806$
• Tercer intervalo: $\int_{1849}^{2024} 2 \, dx = 2 \cdot (2024 - 1849) = 2 \cdot (175) = 350$

5. Suma total:
$$ I = 0 + 1806 + 350 = 2156 $$

$$ \boxed{2156} $$