1. Datos del problema

• Progresión aritmética (P.A.): $a_1, a_2, a_3,\dots$
• $a_2 = 14$, $a_3 = 16$.
• Sea $d$ la diferencia común de la P.A.
• Progresión geométrica (P.G.): $u_1, u_2, u_3,\dots $
• Sea $ q $ la razón de la P.G.
• Condiciones:
  
  1. $q = d$ (la razón de la P.G. es igual a la de la P.A.).
  2. $a_1 + a_2 + a_3 = u_1 + u_2 + u_3$.

2. Progresión aritmética

En una P.A. se tiene:
$$ a_2 = a_1 + d, \qquad a_3 = a_1 + 2d. $$

Como $a_2 = 14$ y $a_3 = 16$:
$$ d = a_3 - a_2 = 16 - 14 = 2. $$

Entonces:
$$ a_1 = a_2 - d = 14 - 2 = 12. $$

La P.A. pedida en sus tres primeros términos es:
$$ a_1 = 12,\quad a_2 = 14,\quad a_3 = 16. $$

La suma de los tres primeros términos:
$$ S_3^{(\text{PA})} = a_1 + a_2 + a_3 = 12 + 14 + 16 = 42. $$

3. Progresión geométrica

Sea la P.G.:
$$ u_1,\quad u_2 = u_1 q,\quad u_3 = u_1 q^2. $$

Por condición de razón:
$$ q = d = 2. $$

Por igualdad de sumas:
$$ u_1 + u_1 q + u_1 q^2 = S_3^{(\text{PA})} = 42. $$

Sustituyendo $q = 2$:
$$ u_1(1 + 2 + 4) = 42 \quad\Longrightarrow\quad u_1 \cdot 7 = 42 \quad\Longrightarrow\quad u_1 = 6. $$

4. Resultado final

La progresión geométrica buscada es:
$$ 6,\; 12,\; 24,\dots $$
pues su razón es $q = 2$, igual a la diferencia de la progresión aritmética, y la suma de sus tres primeros términos
$$ 6 + 12 + 24 = 42 $$
coincide con la suma de los tres primeros términos de la progresión aritmética dada.