1. Identificación y simplificación del integrando:
Observamos que el denominador contiene una expresión que puede simplificarse mediante un trinomio cuadrado perfecto. Notamos que:
$$ x + 1 + 2\sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}(1) + 1^2 = (\sqrt{x} + 1)^2 $$
Sustituyendo esto en la integral original, obtenemos:
$$ I = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{((\sqrt{x} + 1)^2)^2} = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(\sqrt{x} + 1)^4} $$

2. Cambio de variable:
Para resolver la integral, realizamos el siguiente cambio de variable:
$$ u = \sqrt{x} + 1 \implies (u - 1)^2 = x $$
Derivando respecto a $x$:
$$ dx = 2(u - 1) du $$
Ajustamos los límites de integración:

• Si $x = 0$, entonces $u = \sqrt{0} + 1 = 1$.
• Si $x \to \infty$, entonces $u \to \infty$.

3. Desarrollo de la integración:
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral:
$$ I = \int_{1}^{\infty} \frac{2(u - 1)}{u^4} du = 2 \int_{1}^{\infty} \left( \frac{u}{u^4} - \frac{1}{u^4} \right) du $$
$$ I = 2 \int_{1}^{\infty} (u^{-3} - u^{-4}) du $$
Aplicamos la regla de la potencia para integrales:
$$ I = 2 \left[ \frac{u^{-2}}{-2} - \frac{u^{-3}}{-3} \right]_{1}^{\infty} = 2 \left[ -\frac{1}{2u^2} + \frac{1}{3u^3} \right]_{1}^{\infty} $$

4. Evaluación de límites:
Evaluamos el límite superior ($\infty$) y el límite inferior ($1$):
$$ I = 2 \left( \lim_{u \to \infty} \left( -\frac{1}{2u^2} + \frac{1}{3u^3} \right) - \left( -\frac{1}{2(1)^2} + \frac{1}{3(1)^3} \right) \right) $$
Como los términos con $u$ en el denominador tienden a cero cuando $u \to \infty$:
$$ I = 2 \left( 0 - \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) \right) = 2 \left( -\left( \frac{-3 + 2}{6} \right) \right) $$
$$ I = 2 \left( -\left( -\frac{1}{6} \right) \right) = 2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{3} $$

Resultado final:
$$ \boxed{\frac{1}{3}} $$